Quadratische Funktionen
Die quadratische Funktion ist eine spezielle Art von Polynomfunktion zweiten Grades
Die Normal-Parabel
**Scheitelform quadratischer Funktionen
Breite und schmale Parabel
Die Scheitelform macht die Öffnungsrichtung der Parabel leicht erkennbar. Ein positives a führt zu einer nach oben geöffneten Parabel, während ein negatives a zu einer nach unten geöffneten Parabel führt
wenn < 1∣a∣<1, wird sie gestaucht (breit).
Die Koeffizienten a beeinflussen die Öffnungsrichtung und Breite der Parabel. Wenn > 1 ∣a∣>1, wird die Parabel vertikal gestreckt (schmal),
Es gibt verschiedene Arten von quadratischen Funktionen, die sich durch ihre Eigenschaften und Struktur unterscheiden
Die grundlegende Form der quadratischen Funktion ist die Normalparabel
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Diese Parabel ist symmetrisch zur y-Achse und öffnet sich nach oben.
y=x2
Allgemeine quadratische Funktion
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Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion
a,
f(x)=ax2+bx+c
wobei a, b und c Koeffizienten sind
a= Der Koeffizient vonx 2 x 2 bestimmt die Öffnungsrichtung der Parabel.
Wenn a > 0 a>0, öffnet sich die Parabel nach oben, und wenn a< 0 a<0, öffnet sie sich nach unten.
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b
Der Koeffizient von x bestimmt die Richtung und den Abstand der Verschiebung der Parabel auf der x-Achse.
Positive Werte von b verschieben die Parabel nach links, negative Werte nach rechts.
c
Der Konstantenterm beeinflusst den y-Achsenabschnitt der Parabel, d.h., den Punkt, an dem die Parabel die y-Achse schneidet.
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Verschobene quadratische Funktionentext
Verschiebung auf der y-Achse
Verschiebung auf der x-Achse
Verschiebung auf der x- und y-Achse
y=x2+c
y=(x+b)2
x=(x-b)2+c
ermöglicht eine einfache Identifikation des Scheitelpunkts (h,k) der Parabel
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Diese Technik wird verwendet, um eine quadratische Funktion in Scheitelform zu überführen. Sie ist besonders nützlich, wenn man den Scheitelpunkt oder die Nullstellen bestimmen möchte.
Quadratische Ergänzung
Beispiel
f(x)=x2−6x+8
Schritt 1:Fassen Sie die ersten beiden Terme zusammen f(x)=(x 2 −6x)+8
Schritt 2: Ergänzen Sie die quadratische Ergänzung (das Quadrat vervollständigen) durch Hinzufügen und Subtrahieren von ( 2 ) 2 ( 2 b ) 2 , wobei b der Koeffizient des linearen Terms ist ( − 6 −6 in diesem Fall):
f(x)=(x2−6x+9−9)+8
Schritt 3: Gruppieren Sie die Quadrate und Konstanten getrennt: f(x)=(x 2 −6x+9)−9+8
Schritt 4: Schreiben Sie das Quadrat als Quadrat eines Binoms und vereinfachen Sie: f(x)=(x−3) 2 −1
Nullstellen der Funktion
Die Nullstellen (Lösungen für f(x)=0) können durch die quadratische Formel
)
Bestimmung der Schnittpunkte mit der x- und y-Achse, indem x = 0 y=0 bzw. x = 0 x=0 gesetzt wird.
Diskriminante
Die Diskriminante (D) ist eine Kennzahl, die in Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen und Funktionen steht.
Für eine quadratische Gleichung der Form 0 ax 2 +bx+c=0 ist die Diskriminante definiert als
D=b2−4ac
Die Diskriminante hat folgende Bedeutungen
Wenn D>0, hat die Gleichung zwei verschiedene reale Lösungen.
Wenn D=0, hat die Gleichung eine doppelte reale Lösung (eine doppelte Nullstelle).
Wenn 0 D<0, hat die Gleichung zwei komplexe (konjugiert komplexe) Lösungen.
Optimierung
Optimierung bezieht sich auf den Prozess der Suche nach den besten Werten für eine Funktion unter bestimmten Bedingungen. In Bezug auf quadratische Funktionen kann Optimierung bedeuten, den Höchst- oder Tiefstpunkt einer Parabel zu finden.
Für eine quadratische Funktion f(x)=ax 2 +bx+c in Scheitelform f(x)=a(x−h) 2 +k), ist der Scheitelpunkt (h,k) der Punkt, an dem die Funktion ihren Höchst- oder Tiefstwert erreicht, abhängig von der Öffnungsrichtung der Parabel
Die Optimierungsaufgabe besteht darin, die Werte von x zu finden, die den Extremwert der Funktion liefern, unter Berücksichtigung von Beschränkungen oder Bedingungen.
Satz von Vieta
Der Satz von Vieta bietet Beziehungen zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung und ihren Wurzeln (Lösungen)
. Für die quadratische Gleichung ax 2 +bx+c=0 mit den Wurzeln 1 x 1 und 2 x 2 lauten die Beziehungen:
Das ist der Satz von Vieta. In Worten sagt er aus, dass bei einer quadratischen Gleichung in der Form x^2+px+q=0 die Summe der beiden Lösungen gleich -p und ihr Produkt gleich q ergeben muss
Der Satz von Vieta ist besonders nützlich, da er es ermöglicht, Informationen über die Wurzeln einer quadratischen Gleichung direkt aus den Koeffizienten abzuleiten, ohne die Wurzeln explizit berechnen zu müssen
Dies ist besonders hilfreich bei der Anwendung von quadratischen Gleichungen in verschiedenen mathematischen und wissenschaftlichen Kontexten.
Die Scheitelform y=a(x−h) 2 +k
