Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Algebra og ligninger - Coggle Diagram
Algebra og ligninger
Algebraisk tenkning utforske, resonnere og argumentere
-
Måter å tenke på knyttet til prosesser som det å analysere sammenhenger. identifisere strukturer, generalisere, beskrive forandring, modellere, løse problemer, argumentere og forutsi. Det meste av dette kunne vært skrevet med bokstaver. På småtrinnet vil elever for det meste bruke andre uttrykksformer.
-
Kan jobbes med fra tidlig barnetrinn ved at elevene ser mønstre, oppdager strukturer og studerer sammenhenger. Først med Klosser, brikker, tegne diagrammer og uttrykke seg med ord og setninger
Måter å jobbe på: Tegne, telle, lete etter mønster, forklare med ord, så lage algebraisk uttrykk
Algebraisk tenking er når man i stedet for å finne svar på en oppgave finner alle mulige løsninger. Eks. Fordele 8 brikker på to poser. Når elevene jobber systematisk for å finne alle de ulike løsningene blir det algebraisk tenking.
Bevis og argumentasjon
Argumentasjon i matematikk handler om at elevene begrunner fremgangsmåter, resonnementer og løsninger, og beviser at disse er gyldige
Et av kjerneelementene i LK20: Resonnering i matematikk handler om å kunne følge, vurdere og forstå matematiske tankerekker. Det innebærer at elevene skal forstå at matematiske regler og resultater ikke er tilfeldige, men har klare begrunnelser. Elevene skal utforme egne resonnementer både for å forstå og for å løse problemer. Argumentasjon i matematikk handler om at elevene begrunner framgangsmåter, resonnementer og løsninger og beviser at disse er gyldige
Matematisk resonnement:
Utvikle en matematisk påstand ved å se etter mønster, generalisere, sammenligne, klassifisere og/eller fremme en hypotese.
-
Matematisk argumentasjon
Argumentere for å overbevise deg selv eller andre om at en påstand er sann eller ikke, og hvorfor. OBS: Et argument kan være overbevisende, uten at det er matematisk korrekt.
-
Bevis:
Gyldig bevis:
Generisk eksempel (representasjonsbevis) Bruker ett enkelt eksempel til å argumentere for at det gjelder alle tilfeller ved å generalisere argumentasjonen (regnefortelling, tegning, konkreter og illustrasjoner som kan generaliseres).
-
-
-
-
= tegnet
-
Kan også oppfattes som en dynamisk prosess. At vi starter med 3, legger til 5, og ender opp med 8. En slik oppfatning utvikles til det algebraiske temaet funksjoner.
Misforstår: Mange elever misforstår funksjonen til = tegnet og tror at det betyr at man skal regne ut det som står på venstre side. Ved en oppgave som dette: 8+4 = _ +5 Svarer mange 12 eller 17. De legger sammen tallet på ene siden av = tegnet, for så å fortsette det på andre siden av = tegnet.
Jobbe med det: Viktig å jobbe med = tegnet på ulike måter som gir forståelse av ekvivalens på begge sider. Lurt å formulere tekstoppgaver og skrive tilhørende regneuttrykk hvor den ukjente ikke alltid står alene til høyre for likhetstegnet.
Vektanalogi: Illustrere det ved å bruke en vekt. Skape likevekt på begge sider av vekten ved å legge til, eller ta bort. La elevene forstå at en oransje sekk kan veie like mye som to gule. Etterhvert kan man gjøre det mer abstrakt ved at man bytter ut poser med abstrakte former.
Eks. Gaver på vektstang, La elevene se etter mønster i klasserom eller ute, på bygninger.
Negative tall
Kjenner det spesielt fra temperaturskalaen på termometeret. Også høye over havet/under havet. Før/etter kristus
Man addere alle naturlige tall, men ikke subtrahere alle naturlige tall. Da trenger vi å utvide tallområdet med negative tall.
-
Den totale mengden vi får av de naturlige tallene og deres motsatte tall samt null kalles hele tall.
Variabel:
-
Første aspekt: Ha forståelse for a noe varierer i motsetning til at noe er konstant. En sjokolade koster 12 kr, det er konstant. Hvor mye de må betale varierer med hvor mange de kjøper.
-
-
Hva er en ligning:
En likning er to uttrykk satt lik hverandre. Eks; 2x+3=x+5. Uttrykkene på begge sider representerer tall
-
Ulikhet: Er også to uttrykk som representerer tall , der det ene skal være mindre eller større enn det andre. 2x+3<5.
-
Løsningsmetoder:
-
Grafisk: Tegn en graf for uttrykket på venstresiden av likningen og en graf for uttrykket på høyresiden av likningen. Les av x -verdien til punktet hvor grafene skjærer hverandre.
-
Aritmetikk:
-
Tidlig algebraisk tenkning Inntreffer når vi fokuserer mindre på svar og mer på form, struktur, egenskaper og sammenhenger.
Eks: Når man innser at 3+5 gir det samme svaret som 5+3. I utgangspunktet er dette aritmetikk, men det å undersøke og slå fast at det alltid gir samme svar når man bytter rekkefølge på to tall som legges sammen blir det algebraisk tenkning.
Det å finne svar på enkelt oppgaver er aritmetikk. Det å oppdage og uttrykke generelle sammenhenger er algebraisk tenkning
Oppgaver:
Algebraisk oppgave: Gi elever 10 brikker som skal fordeles på to firkanter. Eleven skal finne alle mulige måter dette kan gjøres på.
-
Matematiske lover:
Additiv invers: Til ethvert tall finnes et invers tall slik at summen blir 0. Til tallet 1 er den inverse -1.
Additiv identitet: Om vi legger 0 til et tall, får vi det samme tallet. a+0=a
-
Didaktiske utfordringer:
Algebra kan bli abstrakt i undervisning. Kan bli et spill etter visse regler som er et formelt isolert system med lite meningsinnhold.
Bottom up: Lærere bør tenke mer bottom up og ta utgangspunkt i elevenes erfaringsbakgrunn. La de uttrykke sammenhenger ved hjelp av eget språk. Målet er å lede elever til mer abstrakt tenking, men ha mulighet til å gripe tilbake på kontekstsammenhenger.
Gå fra aritemtikk hvor bokstaver er en forkortelse på navn (1m står for meter) til at det i algebra står for et tall, variabel eller størrelse.
X og Y brukes for ukjent størrelse, og n for noe som telles
Generalisert aritmetikk:
Generalisering av regnestrategier. Ved å begrunne, beskrive og argumentere for sine metoder vil elevene utvikle forståelse for metodene, og sammenheng mellom matematiske begreper
Generalisert aritmetikk refererer gjerne til den overføringen av kunnskap som er nødvendig å foreta fra aritmetikken til algebraen; nemlig at elevene skal kunne generalisere kunnskapene de har om tall og regneoperasjoner til kunnskaper i algebra
Partall/oddetall: Oddetall + oddetall blir alltid partall. Fordi det er en som blir stående alene i hvert element hvis du setter de sammen i par. disse to alene blir også et par. Kan bevises fysisk med elever.
Dobling/halvering: Hvis tallet man skal multiplisere er for høyt kan man doble det lave tallet og halvere det høye tallet slik at det blir enklere å regne ut.
Konvensjoner i algebra
-
-
Prioriteringsrekkefølge: potenser, multiplikasjon og divisjon, så addisjon og subtraksjon. OBS. Parantesbruk kan endre rekkefølge. Brøkstrek fungerer som parantes.
Vanlige misoppfatninger:
-
Elever legger sammen ulike variabler og tenker at bokstav er benevnelse. 5x + 4 = 9x. X er en variabel.