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數學-空間向量 - Coggle Diagram
數學-空間向量
應用領域
物理學:運動學中描述速度和加速度,力學中描述力以及描述電場和磁場都需要用到向量。
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數學:向量空間是線性代數的基礎,矩陣運算和坐標變換都與向量密切相關。向量微積分廣泛應用於理論物理、力學、電磁學等高等數學課題。
計算機圖形學:三維模型、運動、變換都使用向量算法,光線追蹤、顏色空間也使用向量運算。
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向量的表示
幾何表示法:使用箭頭表示向量的大小和方向,這是向量最直觀的表示方法。
坐標表示法:使用向量的一個端點和另一個端點的坐標來表示向量,通常用有序數對(x,y)或者有序三元組(x,y,z)來表示。
分量表示法:將向量分解為按坐標軸方向的分量來表示,比如在二維平面上的向量a可以表示為(a_x, a_y),其中a_x和a_y為向量在x軸和y軸上的分量。
單位基底表示法:使用單位基底和向量在每個基底上的坐標來表示,例如在三維空間裏向量 a = a1i + a2j + a3k,i,j,k是三個單位基底。
矩陣表示法:使用n x 1的矩陣來表示n維空間裏的向量。比如三維向量 a = (a1, a2, a3)^T。
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基本概念：
向量的定義：
向量是數學中的一種量，由大小和方向組成。在三維空間中，一個向量通常表示為 (x,y,z)
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模長和方向
方向(Direction):表示向量指向的方向。幾何上對應向量箭頭的方向。用角度或單位向量來表示。單位向量是模長為1的向量,保留了向量原來的方向。
模長(Magnitude):表示向量的大小,也叫長度或絕對值。幾何上對應向量的箭頭長度。純量表示為|A|或||A||。在二維或三維空間中可以用勾股定理計算。
線性獨立性
在一個向量組中,沒有向量可以用其他向量線性組合來表達。
設V是數域F上的向量空間,S是V的一個向量子集。如果對於S中任意的向量v1,v2,...,vk,若有a1v1+a2v2+...+akvk=0(ai∈F)成立的充要條件是a1=a2=...=ak=0,則稱子集S是線性獨立的。
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消去法:寫出向量組的線性組合等於零,對係數矩陣做初等行變換,判斷最終是否能得到所有係數為0的結果。
維數判別法:線性獨立的向量組S的向量個數不能超過V的維數。如S中任取n個n維空間V的基,則S線性獨立。