Cuando la varianza de la población es desconocida y estamos interesados en estimar la media poblacional, se utiliza un intervalo de confianza para la media con la varianza desconocida. En este caso, se utiliza la distribución t de Student en lugar de la distribución normal, ya que la estimación de la desviación estándar se realiza a partir de la muestra.

En muchas situaciones prácticas, no conocemos la verdadera varianza de la población. Sin embargo, en algunos casos especiales, puede ser posible o asumirse que la varianza poblacional es conocida. En estas situaciones, se puede utilizar esta información adicional para realizar inferencias estadísticas más prec

Cuando hablamos de la varianza conocida en estadísticas, nos referimos al hecho de que conocemos el valor de la varianza de la población subyacente de la que se está extrayendo una muestra.

La fórmula para calcular el intervalo de confianza para la diferencia de medias cuando se conocen las varianzas de las dos poblaciones con un nivel de confianza de 1-α es la siguiente:

La prueba de Kolmogórov-Smirnov es un tipo de prueba no paramétrica. Las pruebas no paramétricas (también llamadas de distribución libre) son utilizadas en estadística inferencial, y tienen las siguientes características: Plantean hipótesis sobre bondad de ajuste, independencia, el nivel de medida de las variables es bajo (ordinal): no tienen excesivas restricciones, son aplicables a muestras pequeñas y son robustas.

Según Novales (2010), este test se emplea para contrastar normalidad cuando el tamaño de la muestra es menor a 50 observaciones y en muestras grandes es equivalente al test de Kolmogórov-Smirnov. El método consiste en comenzar ordenando la muestra de menor a mayor valor, obteniendo el nuevo vector muestral. Cuando la muestra es como máximo de tamaño 50, se puede contrastar la normalidad con la prueba de Shapiro-Wilk, procediéndose a calcular la media y la varianza muestral. Se rechaza la hipótesis nula de normalidad si el estadístico Shapiro-Wilk -W- es menor que el valor crítico proporcionado por la tabla elaborada por los autores para el tamaño de la muestra y el nivel de significancia dado.

La prueba t de Student para una muestra, también conocida como t de Student univariada o t de una muestra, es una prueba estadística utilizada para determinar si la media de una muestra es significativamente diferente de una media poblacional hipotética o conocida. Esta prueba es adecuada cuando la varianza de la población es desconocida.

La prueba t de Student para una muestra, también conocida como t de Student univariada o t de una muestra, es una prueba estadística utilizada para determinar si la media de una muestra es significativamente diferente de una media poblacional hipotética o conocida. Esta prueba es adecuada cuando la varianza de la población es desconocida.

¿Cómo funciona la prueba U de Mann-Whitney?
La prueba U de Mann-Whitney realiza una comparación estadística de la media y determina si existe una diferencia en la variable dependiente para dos grupos independientes.
De esta forma, puede mostrar si la distribución de la variable dependiente es la misma para los dos grupos y, por tanto, de la misma población.
La prueba U de Mann-Whitney funciona a partir de clasificar todos los valores dependientes en orden ascendente, donde el valor más bajo recibe una puntuación de uno, y posteriormente utiliza la suma de los rangos de cada grupo en el cálculo de la estadística de la prueba.

¿Qué es la prueba U de Mann-Whitney?
La prueba U de Mann-Whitney es una prueba no paramétrica alternativa a la prueba t de muestras independientes (una prueba de hipótesis estadística utilizada para determinar si una media poblacional desconocida es diferente de un valor específico).

Con frecuencia debemos de tratar de estimar la media de una población sin conocer la varianza. Recordemos que si tenemos una muestra aleatoria tomada de una población normal, entonces la variable aleatoria

Intervalo de confianza para la media, varianza desconocida

Durante un año electoral vemos artículos en el periódico que indican intervalos de confianza en términos de proporciones o porcentajes. Por ejemplo, un sondeo para un candidato determinado que se presenta a las elecciones presidenciales puede mostrar que el candidato tiene el 40 % de los votos con una diferencia de tres puntos porcentuales (si la muestra es lo suficientemente grande). A menudo, las encuestas electorales se calculan con un 95 % de confianza, por lo que los encuestadores tendrían un 95 % de confianza en que la verdadera proporción de votantes que favorecen al candidato estaría entre el 0,37 y el 0,43.

El procedimiento para calcular el intervalo de confianza de una proporción poblacional es similar al de la media poblacional, pero las fórmulas son un poco diferentes, aunque conceptualmente idénticas. Aunque las fórmulas son diferentes, se basan en el mismo fundamento matemático que nos proporciona el teorema central del límite. Por ello, veremos el mismo formato básico utilizando los mismos tres datos: el valor muestral del parámetro en cuestión, la desviación típica de la distribución muestral correspondiente y el número de desviaciones típicas que necesitamos para tener la confianza en nuestra estimación que deseamos.

el intervalo de confianza para la proporción proporciona una estimación del rango plausible para la proporción poblacional basándose en la información de la muestra, asumiendo que la distribución de la proporción muestral puede aproximarse a una distribución normal mediante el Teorema del Límite Central.

El intervalo de confianza para la proporción es una herramienta estadística utilizada para estimar el rango plausible en el cual se espera que se encuentre la verdadera proporción de una característica en una población, con un cierto nivel de confianza

Supuestos
Para poder aplicar la prueba de Kolmogórov-Smirnov correctamente, se deben asumir una serie de supuestos. Primeramente, la prueba asume que los parámetros de la distribución de prueba se han especificado previamente. Este procedimiento estima los parámetros a partir de la muestra.
Por otro lado, la media y la desviación estándar de la muestra son los parámetros de una distribución normal, los valores mínimo y máximo de la muestra definen el rango de la distribución uniforme, la media muestral es el parámetro de la distribución de Poisson y la media muestral es el parámetro de la distribución exponencial.
La capacidad de la prueba de Kolmogórov-Smirnov para detectar desviaciones a partir de la distribución hipotetizada puede disminuir gravemente. Para contrastarla con una distribución normal con parámetros estimados, se debe considerar la posibilidad de utilizar la prueba de K-S Lillliefors.

Aplicación
La prueba de Kolmogorov-Smirnov se puede aplicar sobre una muestra para comprobar si una variable (por ejemplo, las notas académicas o los ingresos €) se distribuyen normalmente. Esto a veces es necesario saberlo, ya que muchas pruebas paramétricas requieren que las variables que emplean sigan una distribución normal.

¿Cómo se calcula?
El resultado de la prueba de Kolmogórov-Smirnov se representa mediante la letra Z. La Z se calcula a partir de la diferencia mayor (en valor absoluto) entre las funciones de distribución acumuladas teórica y observada (empírica).

Ventajas
Algunas de las ventajas de la prueba de Kolmogórov-Smirnov son: Es más poderosa que la prueba Chi cuadrado (χ²) (también prueba de bondad de ajuste). Es fácil de calcular y usar, y no requiere agrupación de los datos. El estadístico es independiente de la distribución de frecuencias esperada, solo depende del tamaño de la muestra.

Es importante destacar que, aunque la prueba de Shapiro-Wilk es efectiva para detectar desviaciones de la normalidad, puede ser influenciada por el tamaño de la muestra. Para tamaños de muestra muy grandes, la prueba puede ser suficientemente sensible para detectar incluso desviaciones pequeñas de la normalidad, lo que puede hacer que se rechace la hipótesis nula incluso en casos prácticos donde las desviaciones de la normalidad no son de importancia práctica.

El estadístico de prueba de Shapiro-Wilk (W) se calcula a partir de las desviaciones entre los valores observados y los valores esperados bajo la hipótesis de normalidad. Cuanto más pequeño sea el valor de W, mayor será la evidencia en contra de la normalidad.

Estadísticos. Para cada variable: tamaño de la muestra, media, desviación estándar y error estándar de la media. Para la diferencia entre las medias: media, error estándar e intervalo de confianza (puede especificar el nivel de confianza). Pruebas: prueba de Levene sobre la igualdad de varianzas y pruebas t de varianzas combinadas y separadas sobre la igualdad de las medias.

Prueba T para muestras independientes: Consideraciones sobre los datos

Ejemplo. Se asigna aleatoriamente un grupo de pacientes con hipertensión arterial a un grupo con placebo y otro con tratamiento. Los sujetos con placebo reciben una pastilla inactiva y los sujetos con tratamiento reciben un nuevo medicamento del cual se espera que reduzca la tensión arterial. Después de tratar a los sujetos durante dos meses, se utiliza la prueba t para dos muestras para comparar la tensión arterial media del grupo con placebo y del grupo con tratamiento. Cada paciente se mide una sola vez y pertenece a un solo grupo.

Datos. Los valores de la variable cuantitativa de interés se hallan en una única columna del archivo de datos. El procedimiento utiliza una variable de agrupación con dos valores para separar los casos en dos grupos. La variable de agrupación puede ser numérica (valores como 1 y 2, o 6,25 y 12,5) o de cadena corta (como sí y no). También puede usar una variable cuantitativa, como la edad, para dividir los casos en dos grupos especificando un punto de corte (el punto de corte 21 divide la edad en un grupo de menos de 21 años y otro de más de 21).

Supuestos. Para la prueba t de igualdad de varianzas, las observaciones deben ser muestras aleatorias independientes de distribuciones normales con la misma varianza de población. Para la prueba t de varianzas desiguales, las observaciones deben ser muestras aleatorias independientes de distribuciones normales. La prueba t para dos muestras es bastante robusta a las desviaciones de la normalidad. Al contrastar las distribuciones gráficamente, compruebe que son simétricas y que no contienen valores atípicos.

Prueba t para muestras independientes
La prueba t para muestras independientes (o prueba t no pareada) es una prueba estadística que determina si existe una diferencia entre dos grupos no relacionados
La prueba t para muestras independientes se utiliza para hacer una afirmación sobre la población basándose en dos muestras independientes. Para hacer esta afirmación se compara el valor medio de las dos muestras. Si la diferencia de medias es lo suficientemente grande, se supone que los dos grupos difieren.

¿Por qué necesitas la prueba t para muestras independientes?
Supongamos que quieres comprobar si hay una diferencia entre dos grupos de la población, por ejemplo, si hay una diferencia de salario entre hombres y mujeres. Es oviamente imposible preguntar a todos los hombres y mujeres por su salario, así que tomamos una muestra. Creamos una encuesta y la enviamos aleatoriamente a la gente. Para poder hacer una afirmación sobre la población basándonos en esta muestra necesitamos la prueba t independiente.

¿Cómo funciona la prueba t para muestras independientes?
La prueba t para muestras independientes pone la diferencia de medias en relación con el error típico de la media. El error típico de la media indica cuánto se dispersa el valor medio; indica lo lejos que es probable que esté la media muestral de los datos de la verdadera media poblacional. Si la fluctuación del valor medio es grande, indica que es muy probable que exista una gran diferencia entre los valores medios de los dos grupos, incluso por azar.

¿Qué son las muestras independientes?
Las muestras independientes existen si ningún caso o persona de un grupo puede asignarse a un caso o persona del otro grupo. Esto ocurre, por ejemplo, cuando se compara el grupo de mujeres y el de hombres, o el grupo de estudiantes de psicología con el de estudiantes de matemáticas

La prueba U de Mann-Whitney se utiliza para comparar dos medias muestrales que provienen de la misma población, así como para probar si dos medias muestrales son iguales o no. La prueba U de Mann-Whitney, también conocida como prueba de Mann-Whitney-Wilcoxon y como prueba de suma de rangos Wilcoxon, forma parte del grupo más grande de pruebas de dependencia. Las pruebas de dependencia suponen que las variables del análisis pueden dividirse en variables independientes y dependientes.

Importancia de la prueba U de Mann-Whitney
A diferencia de la prueba t de muestras independientes, la prueba U de Mann-Whitney permite sacar diferentes conclusiones sobre los datos en función de las suposiciones que se hagan sobre la distribución de los mismos.
Estas conclusiones pueden ir desde simplemente afirmar si las dos poblaciones difieren hasta determinar si hay diferencias en las medianas entre los grupos. Estas diferentes conclusiones dependen de la forma de las distribuciones de los datos.

2: La variable independiente debe consistir en dos grupos
La variable independiente debe consistir en dos grupos categóricos e independientes. Algunos ejemplos de variables independientes que cumplen este criterio son el género (2 grupos: hombre o mujer), el estado de empleo (2 grupos: empleado o desempleado), fumador (2 grupos: sí o no), etc.

3: Debe haber independencia de las observaciones de cada grupo
Esto significa que no hay relación entre las observaciones de cada grupo o entre los propios grupos.
Por ejemplo, debe haber diferentes participantes en cada grupo y ningún participante debe estar en más de un grupo. Esta cuestión radica más en el diseño de la investigación que en algo que se pueda comprobar, pero es un supuesto importante de la prueba U de Mann-Whitney.

1: La variable dependiente debe medirse a nivel ordinal o continuo
Ejemplos de variables ordinales son los ítems de la escala de Likert (una escala de 7 puntos que van desde «muy de acuerdo» hasta «muy en desacuerdo»), entre otras formas de clasificar categorías (por ejemplo, una escala de 5 puntos que explique cuánto le ha gustado un producto a un cliente, desde «No mucho» hasta «Sí, mucho»).
Algunos ejemplos de variables continuas son el tiempo de revisión (medido en horas), la inteligencia (medida mediante la puntuación del coeficiente intelectual), el rendimiento en los exámenes (medido de 0 a 100), el peso (medido en kg), etc.

4. Las dos variables se distribuyen de forma anormal
   La prueba U de Mann-Whitney puede utilizarse cuando las dos variables no se distribuyen de forma regular.
   Sin embargo, para saber cómo interpretar los resultados de una prueba U de Mann-Whitney, tienes que determinar si la distribución de las puntuaciones para ambos grupos de la variable independiente (por ejemplo, «hombres» y «mujeres» para la variable independiente «género») tienen la misma forma.

Para estimar mejor la diferencia poblacional, utiliza el intervalo de confianza para la diferencia. El intervalo de confianza proporciona un rango de valores probables para la diferencia entre dos medianas poblacionales.

Valor p > α: La diferencia entre las medianas no es estadísticamente significativa (No se rechaza la hipótesis). Si el valor p es mayor que el nivel de significación, la decisión es no rechazar la hipótesis nula.

Por ello es importante que trates de identificar la causa de los valores atípicos. Corrige los errores de introducción de datos o de medición, o bien, considera la posibilidad de eliminar los valores de los datos para eventos anormales y puntuales (también llamados causas especiales). Una vez realizado lo anterior, repite el análisis.

La prueba t de Student tiene varias ventajas que la hacen una técnica estadística útil en diferentes contextos de investigación. Algunas de las principales ventajas son:

¿Qué es el método de Tukey para comparaciones múltiples?
El método de Tukey se utiliza en ANOVA para crear intervalos de confianza para todas las diferencias en parejas entre las medias de los niveles de los factores mientras controla la tasa de error por familia en un nivel especificado. Es importante considerar la tasa de error por familia cuando se hacen comparaciones múltiples, porque la probabilidad de cometer un error de tipo I para una serie de comparaciones es mayor que la tasa de error para cualquier comparación individual. Para contrarrestar esta tasa de error más elevada, el método de Tukey ajusta el nivel de confianza de cada intervalo individual para que el nivel de confianza simultáneo resultante sea igual al valor que usted especifique.

Comparación de los intervalos de confianza de 95% con los intervalos de confianza más amplios de 99.35% utilizados por el método de Tukey en el ejemplo anterior. La línea de referencia en 0 muestra cómo los intervalos de confianza más amplios de Tukey pueden cambiar sus conclusiones. Los intervalos de confianza que contienen cero indican que no hay diferencia. (Por razones de espacio, solo se muestran 5 de las 10 comparaciones).

La principal ventaja de la prueba de Tukey es que controla eficazmente la tasa global de error de tipo I, evitando así aumentar la probabilidad de cometer errores de tipo I cuando se realizan múltiples comparaciones.

Al ser no paramétrica, la prueba no asume que los datos provienen de una distribución particular. La prueba de Kruskal Wallis te dirá si hay una diferencia significativa entre los grupos. Sin embargo, no te dirá qué grupos son diferentes.

Puede aplicarse a un gran número de situaciones.

Puede utilizarse con tamaños de muestra más pequeños.

Es generalmente robusto y no suele verse afectado por valores extremos en los datos, como los valores atípicos.

Necesita menos supuestos o menos estrictos sobre la naturaleza de la distribución de la población.

Tiene un alto nivel de eficiencia relativa asintótica en comparación con las pruebas paramétricas clásicas.

Supuesto No. 1: Es necesario medir a nivel ordinal o continuo su variable dependiente.

Supuesto No. 2: Dos o más de dos grupos categóricos e independientes conforman su variable independiente. La prueba H de Kruskal-Wallis se utiliza cuando se tienen tres o más grupos categóricos independientes, pero puede utilizarse sólo para dos grupos.

Supuesto No. 3: Es necesario que haya independencia de las observaciones, es decir, no se presente ninguna relación entre las observaciones de los grupos o entre los grupos.

Paso 1: Ordena los datos de todos los grupos o muestras en orden ascendente en un conjunto combinado.

Paso 2: Asigna rangos a los puntos de datos ordenados. Asigna a los valores empatados el rango medio.

Paso 3: Suma los diferentes rangos de cada grupo/muestra.

Conclusión
Como toda prueba no paramétrica, el uso de la prueba de Kruskal Wallis es conveniente cuando se trabaja con muestras pequeñas, con la finalidad de corroborar los resultados obtenidos con base en el uso de la teoría basada en la norma

En algo están todos de acuerdo: para calcular la d de Cohen restamos las medias, la del grupo que recibe el tratamiento menos la del grupo de control, o si en el diseño sólo hay un grupo, la de después del tratamiento menos la de antes. Una vez que se tiene el resultado de la diferencia de medias, hay que dividirlo entre la desviación típica de ese resultado en la población. Aquí es donde empiezan las diferencias.

La D de Cohen funciona mejor para tamaños de muestra más grandes (> 50). Para tamaños de muestra más pequeños, tiende a inflar demasiado los resultados. Hay disponible un factor de corrección que reduce el tamaño del efecto para muestras pequeñas en unos pocos puntos porcentuales: Nota : el sesgo hacia el sesgo de muestras pequeñas es ligeramente menor para un método alternativo, Hedges’ g , que usa n-1 para cada muestra.

Los efectos “pequeños” son difíciles de ver a simple vista. Por ejemplo, Cohen informó que la diferencia de altura entre las niñas de 15 y 16 años en los EE. UU. es aproximadamente de este tamaño del efecto. «Medio» es probablemente lo suficientemente grande como para ser discernido a simple vista, mientras que los efectos que son «grandes» definitivamente se pueden ver a simple vista (Cohen llama a esto «groseramente perceptible y, por lo tanto, grande»). Por ejemplo, la diferencia de altura entre las niñas de 13 y 18 años es de 0,8. Un efecto por debajo de 0,2 puede considerarse trivial, incluso si sus resultados son estadísticamente significativos .

Si K es cero, ello significa que la concordancia observada coincide con la que ocurriría por puro azar. Valores positivos señalan mayor concordancia que la que se esperaría por el puro azar. Si el resultado fuera 1, se trataría de una concordancia perfecta. Si K toma un valor negativo, significa existencia de discordancia, que solamente en la tabla de 2*2, podría llegar hasta -1, lo que señalaría una discordancia total entre las dos clasificaciones o evaluaciones.

Con todo, hay que calcular también el intervalo de confianza en el que se mueve K, ya que, aunque K tenga valores positivos, si el intervalo de confianza es muy amplio, habría que reconsiderar la significación, es decir, si es suficiente para decidir que ambas clasificaciones, observadores, etc. son similares.

Entonces, con un segundo médico, el resultado podría ser ahora el siguiente: Para la primera persona, ambos médicos llegan al mismo resultado, pero para la segunda persona, el resultado difiere. Así que te interesa saber cuál es la concordancia de los médicos, y aquí es donde entra en juego el Kappa de Cohen.

En el primer caso hablamos de fiabilidad (si ambos miden lo mismo) y en el segundo de validez (si ambos miden lo correcto). El Kappa de Cohen sólo puede utilizarse para medir la fiabilidad.

Kappa de Cohen ponderado
El Kappa de Cohen tiene en cuenta el acuerdo entre dos calificadores, pero sólo es relevante si ambos calificadores miden lo mismo o no. En el caso de una variable ordinal, es decir, una variable con una gradación, como las calificaciones escolares, es deseable, por supuesto, que también se tengan en cuenta las gradaciones. La diferencia entre "muy bueno" y "satisfactorio" es mayor que entre "muy bueno" y "bueno".

Generalmente se asigna la letra giega rho al coeficiente de correlación.

Partimos de una muestra de n observaciones (Ai,Bi).

El último factor de la función es opcional y nos dice en qué orden queremos ordenar las observaciones. Un número distinto de cero ordenará las observaciones en orden ascendente. Por ejemplo, asignará al menor elemento una clasificación de 1. Si colocamos un cero en la variable orden, asignará al mayor elemento una clasificación de 1 (orden descendente).

Existe una diferencia importante entre ambos coeficientes de correlación. La correlación de Spearman utiliza los rangos de los datos en lugar de los datos en sí, de ahí el nombre de correlación de rangos.

Debemos tener clara la diferencia entre relación, correlación o covariación entre dos variables (= variación conjunta) y causalidad (también llamada pronóstico, predicción o regresión), ya que son conceptos diferentes.

Si el coeficiente es mayor que 0, la correlación es positiva (“A más, más, y a menos menos). En cambio, si es menor que 0 (negativo), la correlación es negativa (“A más, menos, y a menos, más). Finalmente, si el coeficiente es igual a 0, sólo podemos afirmar que no hay relación lineal entre las variables, pero puede haber algún otro tipo de relación.

Para representar las relaciones de diferentes variables que combinan linealmente, podemos utilizar la llamada matriz de varianzas-covarianzas o la matriz de correlaciones; en la diagonal de la primera nos encontraremos con valores de la varianza, y en la de la segunda nos encontraremos con unos (la correlación de una variable consigo misma es perfecta, =1).

1. Varianza asociada
   Indica la proporción de la varianza de Y (una variable) asociada a la variación de X (la otra variable). Por lo tanto, sabremos que "1-coeficiente Pearson al cuadrado" = "proporción de la varianza de Y que no está asociada a la variación de X".

2. Diferencias individuales
   Si multiplicamos el coeficiente de correlación de Pearson x100, nos estará indicando el % de las diferencias individuales en Y que están asociadas / dependen de / son explicadas por las variaciones o diferencias individuales en X. Por lo tanto, "1-coeficiente Pearson al cuadrado x 100" = % de las diferencias individuales en Y que no está asociado / depende de / es explicado por las variaciones o diferencias individuales en X.

Por lo tanto, "1-coeficiente Pearson al cuadrado" = error que se sigue cometiendo al usar la recta de regresión en vez de la media (siempre multiplicado x 100 = indica el %).

4. Índice de aproximación de los puntos
   Finalmente, la última interpretación del coeficiente de correlación de Pearson elevado al cuadrado indicaría la aproximación de los puntos a la recta de regresión comentada. Cuando mayor sea el valor del coeficiente (más cercano a 1), más se aproximarán los puntos a Y’ (a la recta).

De esta forma, se busca determinar si una diferencia entre los datos observados y los esperados se debe al azar, o si se debe a una relación entre las variables que se están estudiando.

También es sensible a la distribución dentro de las celdas. Esto puede solucionarse utilizando siempre variables categóricas con un número limitado de categorías.

Esta prueba se utiliza con mayor frecuencia para comparar una muestra aleatoria con la población de la que se ha recogido potencialmente.

A diferencia de la prueba de bondad de ajuste, la prueba de independencia no compara una única variable observada con una población teórica, sino dos variables dentro de un conjunto de muestras entre sí.

La principal diferencia que hay que recordar entre ambas es que la prueba de independencia busca una asociación entre dos variables categóricas dentro de la misma población, mientras que la prueba de homogeneidad determina si la distribución de una variable es la misma en cada una de varias poblaciones (asignando así la propia población como segunda variable categórica).

Define tus hipótesis nula y alternativa antes de iniciar la recolección de datos.

Conclusión
Como puedes ver, la estadística de la prueba de chi-cuadrado consiste en encontrar la diferencia al cuadrado entre los valores de los datos reales y los esperados, y dividir esa diferencia entre los valores de los datos esperados. Esto se hace para cada punto de datos y se suman los valores.