CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

CỰC TRỊ

SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA ĐTHS

Tương giao hai đồ thị

Sử dụng đồ thị /bbt

Chỉ hỏi số lượng

Dồ thị có sẵn /biến đổi ra được

Tách riêng được tham số

Biến đổi phương trình

Khi cần tính toán /xét tính chất

TIỆM CẬN

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

ĐỊNH NGHĨA
Giả sử y = f(x) xác định trên K

NHẬN XÉT

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K ⇔ với ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K ⇔ với ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 thì f(x1) > f(x2).

Đồ thj của hàm số đồng biến trên K là một đường đi lên từ trái sang phải

Đồ thj của hàm số nghịch biến trên K là một đường đi xuống từ trái sang phải

ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CHO HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU
Cho hàm số f có đạo hàm trên K

ĐIỀU KIỆN CẦN

ĐIỀU KIỆN ĐỦ

Nếu hàm số f đồng biến trên K thì f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K.

Nếu hàm số f nghịch biến trên K thì f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K.


Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f nghịch biến trên K.

Nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f là hàm hằng trên K.

Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f đồng biến trên K.

ĐỊNH LÍ MỞ RỘNG

Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f sẽ đồng biến trên K.

Nếu f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f sẽ nghịch biến trên K.


QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm xi (i= 1, 2 ,…, n) mà tại đó đạo hàm của chúng bằng 0 hoặc không xác định

Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Tìm tập xác định

Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CÁCH TÍNH GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC

ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số y = f(x) xác định trên R

click to edit

click to edit

ĐỊNH LÍ

QUY TẮC

Hàm số liên tục trên một đoạn thì có GTLN và GTNN trên đoạn đó.

Tính y', giải phương trình y'=0, tìm no x0

Tính y(x0), y(a), y(b)

Tìm TXD

So sánh và kết luận

TIỆM CẬN ĐỨNG

TIỆM CẬN NGANG

Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định/K (khoảng vô hạn).
Nếu lim y (x -> +/- vô cực) = y0 => Đt y=y0 là TCN của đths

Định nghĩa

Cách xác định

Cách xác định

Tìm lim y (x -> +/- vô cực) (nếu có)

Kết luận

Tìm TXD

Cho hàm số y = f(x) xác định/K (khoảng vô hạn).
Nếu lim y (x -> +/- x0) = +/- vô cực => Đt x=y0 là TCD của đths

Tính lim y (x -> +/- x0)

Kết luận

Tìm TXD, xác định các điểm x0 là các điểm cho mẫu số = 0 (hàm phân thức) và các điểm hàm số gián đoạn

Định nghĩa

Nhận xét

Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)<f(x0) với mọi x thuộc (x0-h; x0+h) và x khác x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0

Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)>f(x0) với mọi x thuộc (x0-h; x0+h) và x khác x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0

Điều kiện cần

Điều kiện đủ

Nếu hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm/(x0-h; x0+h) và đạt cực trị tại x0 thì f'(x0)=0

Định lí 1

Định lí 2

Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm/K hoặc /K trừ x0

  • Nếu f'(x) đổi dấu từ (+) -> (-) thì x0 là điểm cực đại
  • Nếu f'(x) đổi dấu từ (-) -> (+) thì x0 là điểm cực tiểu

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên (x0-h; x0+h)

f'(x)=0
f''(x)<0 => x0 là điểm cực tiểu

f'(x0)=0
f'(x0)=0
=> Chưa kết luận được

f'(x0)=0
f''(x0)>0
=> x0 là điểm cực tiểu

Quy tắc tìm cực trị

  • Dùng BBT
  • Đạo hàm bậc 2