Sistemas de Ecuaciones diferenciales

Método de Eliminación Gaussiana

Pasos:

Paso 3: Hacer operaciones de fila para eliminar una variable

Paso 4: Resolver la ecuación de una sola variable

Paso 2: Pasar todo al mismo lado y factorizar

Paso 5: sustituir en una de las ecs. originales para encontrar la otra solucion

Paso 6: Verificar # de parámetros por medio del det(A)

Paso 7: si excede # de parámetros, utilizar otra de las ecuaciones originales para encontrarlo

Paso 1: Poner todo en terminos de operadores diferenciales

Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden

Son de la forma X'=A*X+F

Sistemas Homogéneos : X'=A*X, donde A es matriz numerica

Caso 1: Valores propios todos distintos y reales

Paso 3: Las soluciones son de la forma: X=e^(lambdat)v

Paso 2: encontrar los vectores propios asignados a cada valor propio por medio de A-(lambda*I)

Paso 4: La solución general es la combinación lineal de cada solución, así: C1X1+C2X2 + .....

Paso 1: Obtener los valores propios de A por medio del polinomio caracteristico

Caso 2: Valores propios complejos

Paso 3: El vector propio de conjugado es igual solo cambia el + por - entre la parte real e imaginaria

Paso 4: Aplicar la formula para este tipo de soluciones (senos y cosenos), para esto debemos identificar Alpha y Beta

Paso 2:Se obtienen los vectores propios para un valor propio y se separa entre parte real e imaginaria

Paso 5: La solución es X(t)=C1X1+C2X2 + ...

Paso 1: obtener valores propios

Caso 3: Valores propios repetidos

Paso 3: Obtengo el vector propio para el valor repetido y busco dos vectores l.i. que cumplan el sistema

Paso 4: Una vez obtenido cada vector propio, hacemos que la solución es X=e^(lambdat)v

Paso 2: Sacamos el vector propio para el valor que no este repetido, en caso de que exista

Paso 5: solución general es X(t)=C1X1+C2X2 + ...

Paso 1: Obtener los valores propios

Casos MA > MG

Caso Si MA =2 y MG =1: buscamos un vector v que cumpla (A-lambda I)v=u. La segunda solución es X2=(v+tu)e^(lambdat)

Caso Si MA = 3 y MG =1: buscamos vector w que cumpla (A-lambda I)w=v. La tercera solución es>

Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden No -Homogéneos

Son de la forma X'=A*X+F

Método de Variación de Parámetros

Buscamos solcuiones de la forma: X(t)=Xc(t)+Xp(t)

Paso 2: definimos Phi como la matriz que tiene como filas y columnas a Xc

Paso 3: Buscar la matriz inversa de Phi como yo quiera

Paso 1: Encontrar Xc hacemos el mismo proceso como si el sistema fuera homogéneo (lo del lado amarillo)

Paso 4: Multiplicar la inversa de Phi por F

Paso 5:Hacemos integral de la multiplicación anterior y ese resultado lo multiplicamos por Phi normal

Paso 6: El resultado anterior es Xp. La solución general es Xc+Xp