PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Muhammad Nejzad Tualeka
Muslim Akmal
abdurrahman rizki elhilmy
Materi prasyarat
Perbandingan Trigonometri dalam segitiga siku siku
Ahmad Nouval El - Ghifary
BENTUK a Sin² x + b Sin x = c
Masalah Kontekstual
Langkah penyelesaian:
- Misalkan bentuk trigonometri menjadi suatu variable, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dengan suatu variable tersebut
- Selesaikan persamaan kuadrat dari variable pada langkah 1 hingga diperolehnilai akar-akarnya
- Ubah akar-akar tersebut ke bentuk pemisalan langkah 1 sehingga diperoleh persamaan trigonometrinya
- Selesaikan persamaan trigonometrinya
Contoh soal:
The solutions set of tan² x - 3 = 0, -2π ≤ x ≤ 2π is...
Muslim akmal
(Sudut bersesuaian)
Adalah sudut sudut bersesuaian terjadi pada garis²
Sejajar dan berpotongan dengan garis transversal
Comtoh soal
Penyelesaian sinx=cos 75°, 0°<= x <=360° adalah
(Jawaban)
Sin x = cos 75°
Sin x =sin (90° + 75°)
Sin x = sin 165°
(I) x = 165° + k.360°
(II) x = (180 -165)° + k.360°
K=0
(I) x = 165° + 0.360° =165°
(II) x =(180 - 165)° + 0.360°=15°
K=1
(I) x = 165° + 1.360° = 525°
(II) x = 15° + 1.360° =375°
HP = {15° , 165°}
Grafik Sinus
tan² x - 3 = 0
Misalnya tan x = a
a² - 3 = 0
a² = 3 :
a = ±√3 = ±60°
Tan x = tan ±60°
(i) x = ±60° + k . 180°
Grafik Cosinus
Grafik Tangen
click to edit
Adapun ketentuan yang berlaku pada fungsi tangen adalah sebagai berikut.
Saat x -> 90o dan x -> 270o (dari kanan), nilai y = tan x menuju tak terhingga.
Saat x -> 90o dan x -> 270o (dari kiri), nilai y = tan x menuju negatif tak terhingga.
x = 60°
K = -2
(I) x = 60° - 360° = -300° / 180° × π= -5 / 3 π
K = -1
(I) x = 60° - 180° = -120° / 180° × π = -2 / 3 π
K = 0
(I) x = 60°/ 180° × π = 1 / 3 π
K = 1
(I) x = 60° + 180° = 240° / 180° × π = 4 / 3 π
K = 2
(I) x = 60° + 360° = 420° / 180° × π = 7 / 3 π
Pada dasarnya, grafik fungsi kosinus sama dengan grafik fungsi sinus. Hal yang membedakan adalah grafik fungsi sinus dimulai dari y = 0, sedangkan grafik fungsi kosinus dimulai dari y = 1. Perhatikan grafik berikut.
Grafik fungsi sinus, y = a sin bx, x ∈ [0o, 360o] memiliki bentuk gelombang bergerak yang teratur seiring pergerakan x.
berdasarkan grafik diatas , di peroleh sifat sifat berikut
Simpangan maksimum gelombang atau yang biasa disebut amplitudo adalah 1. Simpangan gelombang adalah jarak dari fungsi x ke puncak gelombang.
Gelombang memiliki periode satu putaran penuh.
Grafik y = sin x memiliki nilai ymaks = 1 dan ymin = -1.
Titik maksimum gelombang adalah adalah (90o, 1) dan titik minimumnya (270o, -1).
Jika persamaan fungsi trigonometrinya diubah menjadi y = a sin x dengan a = 2, diperoleh grafik berikut.
Muslim akmal
(Persamaan tangen)
Adalah persamaan trigonometri yang membuat
Fungsi tangen
Contoh soal
Penyelesaian dari tan x = 1 untuk 0° < x < 360° adalah
(Jawaban)
Tan x = tan 45°
X = 45° + k.180°
K=0
X=45° + 0.180° =45°
K=1
X = 45° + 1.180=225°
K=2
X = 45° + 2.180° 405°
HP = {45° , 225°}
click to edit
Bentuk
acosx+bsinx=c
Contoh soal :
Nilai X yang memenuhi √3 cos x + sin = √2 untuk 0 ≤ x ≤ 2π
Penyelesaian
√3 cos x + sin x = k cos (x - a )
K = √3+1 = 2
tan a = 1/√3 --> a = π/6
2 cos (x - π/6) = √2
(i)cos (x-π/6) = cos π/4 --> (x-π/6) = π/4 --> x = 5/12 π
(ii)cos (x-π/6) = cos(-π/4) --> (x-π/6) = -π/4 + 2π --> x = - 1/12 π + 2π = 23/12 π
x = 120°
K = -2
(I) x = 120° - 360° = -240° / 180° × π = -4 / 3 π
K = -1
(I) x = 120° - 180° = -60° / 180° × π = -1 / 3 π
K = 0
(I) x = 120° / 180° × π = 2 / 3 π
K = 1
(I) x = 120° + 180° = 300° / 180° × π = 5 / 3 π
K = 2
(I) x = 120° + 360° = 480° / 180° × π = 8 / 3 π
HP = {-5 / 3 π, -4 / 3 π, -2 / 3 π, -1 / 3 π, 1 / 3 π, 2 / 3 π, 4 / 3 π, 5 / 3 π}
x : Jarak pohon ke orang diukur dengan meteran
t: Tinggi pohon yang akan diukur
t*: Tinggi orang yang mengukur dari kaki hingga mata
a: Hasil sudut yang ditunjukkan oleh alat klinometer
∅: Sudut elevasi
y : Selisih tinggi pohon dan orang yang mengukur
Rumusnya:
a cos x + b sin x = k cos (x - a) = k sin ( x - a + 90°) dengan
k = √a²+b² dan tan a = b/a (a harus sesuai dengan kuadratnya titik (a,b))
Catatan : a cos x + b sin x = c mempunyai penyelesaian bila a²+b²≥ c².
Contoh:
Diketahuai : x = 150 cm = 1,5 m
t* = 145 cm = 1,45 m
a = 44,5°
Ditanya : t
Jawab :
Dari sketsa, pada segitiga ABC diperoleh ∅ = 90° - a = 90° - 44,5° = 45,5°
Sesuai perbandingan trigonometri diperoleh:
tan∅ = y / x » y = x. tan∅ ... (1)
Dari (1) dan sketsa, diperoleh:
» t = x. tan∅ + t*
» t = 1,5. tan(45, 5°) + 1,45
» t = 1,5. (1, 0176) + 1,45
» t = 1,5264 + 1,45
» t = 2,9764.....(2)
Jadi, dari (2) diperoleh tinggi pohon tersebut adalah 2,9764 m