Continuidad de funciones
Una función real de variable real es continua en un intervalo cuando se puede dibujar sobre el papel a lo largo de dicho intervalo sin levantar el lápiz.
Continuidad de una función
Una función f(x) es continua en un punto a, si y sólo, si se cumple con las siguientes condiciones
Función continua
Cuando no se cumple las tres condiciones simultáneamente, la función es discontinua
se puede representar en una gráfica sin levantar el lápiz del papel
Propiedades
Función discontinua
La función de la figura es discontinua en el punto x = 1, debido a que para representarla se deben hacer dos trazos con el lápiz
Tipos
Funciones constantes Son continuas en todos los reales.
Funciones polinómicas Son continuas en todos los números reales.
Funciones racionales Son continuas en todos los números reales excepto en aquellos valores que anulan el denominador de la fracción, en esos puntos la función presenta una discontinuidad
Funciones exponenciales Son continuas en todo el conjunto de números reales
Funciones logarítmicas Son continuas en todos aquellos puntos que hacen que su argumento sea positivo
Funciones irracionales Si el índice es par, son funciones continuas en todos los puntos que hacen igual o mayor que cero el argumento de la raíz. Pero si el índice es impar, son funciones continuas en todos los números reales.
Funciones trigonométricas La función seno y la función coseno son continuas en todo el conjunto de números reales (en cambio, la función tangente es discontinua en los valores múltiplos impares de p/2).
dos funciones f(x) y g(x) continuas en el punto x = a
Suma y Resta de ambas es una función continua en ese punto.
El producto de las dos funciones es una función continua en ese punto.
El cociente entre ambas funciones es una función continua en ese punto (excepto se anule el denominador).
Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a), entonces la composición de funciones (g ° f) (x) es también continua en a.
Tipos
Discontinuidad evitable Los límites laterales de una función en un punto no coinciden con el valor de la función.
Discontinuidades inevitables Si la dicontinuidad presente no es evitable; es decir, no es posible redefinir
f en x = a como función continua.
los límites laterales en x=a valen lo mismo, pero la imagen de la función en ese punto no existe
Se clasifican
Discontinuidad de salto finito Presenta una función en un punto cuando los límites laterales de la función en ese punto no son iguales.
Discontinuidad de salto infinito Tiene una función en en punto si alguno de los límites laterales en ese punto es infinito o no existe.
Discontinuidades por el dominio de definición Cuando existe el límite y la función está definida en el punto, pero ambos valores no coinciden.
Universidad Fidélitas. Estudiante: Paola Rojas Zambrano. Curso: Cálculo para Administración (Matemática II) K:2-5 G:3. Prof: David Alegria Arce
Discontinuidades asintóticas cuando el límite es infinito
no existe el límite
existe el límite