Matemática Discreta - 1º semestre
Teoria dos Conjuntos
Conjunto Vazio
Cardinalidade
Conjunto Unitário
Conjuntos Iguais
Um conjunto que não possui elementos;
O número de elementos presentes em um dado conjunto, sendo representado por n(A), sendo A o conjunto analisado.
Um conjunto que possui um único elemento.
Os conjuntos A e B são ditos iguais se e somente se apresentarem os mesmos elementos.
Fundamentos de funções do primeiro
e segundo grau
Função
Graus da função
Uma função de A em B significa que cada elemento do conjunto A encontra um único correspondente no conjunto B.
É dado pela maior potência presente na sua variável independente.
Primeiro Grau
Segundo Grau
y = ax + b
y = ax2 + bx + c
Essa equação é definida como de primeiro grau pois a maior potência da variável x é igual a 1.
Nesse caso, a maior potência da variável x é igual a 2, por isso essa é uma função de segundo grau.
Função Crescente e Decrescente
Crescente
Decrescente
a > 0
a < 0
A função é crescente porque, conforme ocorre um aumento no valor da variável independente x , a função y também apresenta um crescimento. Graficamente, é possível perceber que quanto mais à direita, mais alta a reta fica.
A função é decrescente porque, à medida que ocorre um aumento no valor da sua variável independente x, a função y diminui. Graficamente, é possível perceber que quanto mais à direita, mais baixa a reta fica.
Graficamente, o coeficiente linear indica o ponto em que a função f(x) intercepta o eixo vertical, ou seja, o eixo das ordenadas.
Reta
Parábola
Proporção
Função Exponencial
Função Logarítmica
f(x)=ax, em que a representa a base da função. Quando a é igual a e (número de Euler - Aproximadamente 2,7182.)
A função exponencial é crescente e sua imagem localiza-se entre (0,1) quando x é um número negativo; e é crescente e sua imagem varia de 0 a infinito quando x é um número positivo.
f(x)=loga(x), em que a é a base da função. Por ser o inverso da função exponencial, podemos definir a função logarítmica clássica assim: f(x)=In(x), com base e (número de Euler).
Quando o valor de x está entre 0 e 1, o valor do log é necessariamente negativo, o que é a primeira diferença em relação à função exponencial. Agora, quando o log tem valores de x acima de 1, essa função é positiva e tende a infinito, assim como a função exponencial.
igualdade entre duas razões.
Grandezas diretamente proporcionais
São caracterizadas por uma das grandezas aumentar e a outra também aumentar, isto é, ambas as grandezas aumentam. O processo é análogo, caso elas diminuam.
Grandezas inversamente proporcionais
Nesse caso, se uma grandeza aumenta, a outra diminui e vice-versa.
Matemática Financeira
Proporcionalidade
comparação entre duas proporções, em que podemos ter relações como dobro, triplo, etc.
Valor presente
É descrito como a data atual da operação financeira.
Tempo
É a quantidade específica de tempo em que a operação financeira se passa.
Taxa de juros
Tem uma relação direta com o tempo, já que pode ser aplicada por mês, dia ou ano. É sempre representada por porcentagem ou números decimais.
Valor futuro
É o resultado da ação dos juros sobre o valor presente.
Juros
Juros simples
São diretamente proporcionais ao capital inicial e ao tempo de aplicação. Isto é, J=Pin, em que: i representa a taxa de juros, P representa o valor presente e n representa o tempo.
Juros compostos
São calculados sobre o montante gerado até o período anterior, isto é, o montante é dado por Fn=P(1+i)n, em que P é o valor principal, i é a taxa de juros e n é o período desejado.
Descontos: conhecidos como racionais, envolvem os conceitos e relações básicas de juros simples. Em geral, podemos escrever os descontos como: Dr=N-Vr, em que N é o valor do montante e Vr é o valor descontado racional (valor atual) na data da operação financeira.
Amortização: é um processo financeiro pelo qual uma dívida é paga, de maneira progressiva, por meio de parcelas.
A notação de somatório
Vantagens
- Simplifica cálculos complexos.
- É facilmente implementado computacionalmente.
- É uma base para entendimento de diversos conceitos.
Desvantagens
- Podem ser complexas dependendo do conceito.
- Em certas situações são apresentadas de forma errônea.
- Em contextos mais gerais, não há uma padronização.
Algoritmos com inequações
Potenciação em conjuntos numéricos