Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Matte 1, https://www.arbeidsplan.net/Kalkulus/Matematiske%20symboler.pdf -…
Matte 1
Derivasjon
-
Sekantsetningen
Teorem 2.11
Anta at f(x) er kontinuerlig for x∈[a, b] og er deriverbar for x∈(a,b). Da finnes en c∈(a, b) slik at
(𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎))/(𝑏−𝑎)=𝑓′(𝑐).
-
Implisitt derivasjon
Skrives på formen F(x,y)=0
Likningen definerer y implisitt som én eller flere funksjoner av x.
Selv om vi ikke kjenner uttrykket for y=y(x), kan vi alltid finne den deriverte y´(x) ved å benytte implisitt derivasjon.
Koblede hastigheter
Koblede hastigheter er når det finnes en matematisk relasjon mellom 2 hastigheter, altså 2 deriverte.
Løses ved å bruke implisitt derivasjon av de koblede hastighetene.
Ubestemte uttrykk
-
Teorem 4.3 og 4.4 (l´Hôpitals regel)
Anta at f(x) er deriverbar for x∈(a,b), og at g´(x)!=0 for alle x∈(a,b). La c∈(a,b).
lim x->c f(x) = lim x->c g(x) = 0
og
lim x->c f´(x)/g´(x) = L
=>
lim x->c f(x)/g(x) = L
(lim x->c |f(x)| =) lim x->c |g(x)| = ∞
og
lim x->c f´(x)/g´(x) = L
=>
lim x->c f(x)/g(x) = L
Ekstremalverdier
Definisjon (Globale maksimums- og minimumspunkter)
Et punkt x0 kalles et:
-Globalt maksimumspunkt for en funksjon f(x) dersom
x0∈Df og f(x0)>=f(x) for alle x∈Df
-Globalt minimumspunkt for en funksjon f(x) dersom
x0∈Df og f(x0) =< f(x) for alle x∈Df
Definisjon (Lokale maksimums- og minimumspunkter)
Et punkt x0 kalles et:
-Lokalt maksimumspunkt for f(x) dersom
x0∈Df og δ>0 slik at
f(x0)>=f(x) for alle x∈Df ∩ (x0-δ, x0+δ)
-Lokalt minimumspunkt for f(x) dersom
x0∈Df og δ>0 slik at
f(x0)<=f(x) for alle x∈Df ∩ (x0-δ, x0+δ
-
-
-
-
Invers funksjoner
Definisjon (invers):
Anta at f : Df → Vf er injektiv. Den inverse funksjonen
f^−1 :Vf → Df til f er definert ved å la f^-1(x) være det entydig bestemte tallet y ∈ Df slik at f(y) = x
Dvs: y=f^-1(x) ⇐⇒ f (y ) = x for y ∈ Df .
-
-
Den deriverte til inversfunksjonen:
Anta at f (x) er deriverbar for x ∈ (a, b) og at enten s˚a er f′(x) > 0 for alle x ∈ (a, b) eller s˚a er f′(x) < 0 for alle x ∈ (a, b). Da er (f^(-1))'(x)=1/(f'(f^(-1)(x))
Grenser, følger og kontinuitet
grenser
Definisjon (Grenseverdi):
Funksjonen f (x) nærmer seg L som grenseverdi når x går mot a dersom følgende gjelder:
For ethvert tall ε > 0, finnes et tall δ > 0 slik at:
0 < |x − a| < δ =⇒ | f (x) − L | < ε.
Vi skriver “lim x→a f (x) = L” eller “f (x) → L n˚ar x → a”.
-
Følger
Konvergens:
Følgen {a_n} konvergerer mot L ∈ R dersom det for ethver treelt tall ε > 0 finnes en N ∈ (naturlige tall) slik at |a_n − L| < ε for alle n ≥ N.
divergens:
Følger som ikke konververger, sier vi at divergerer.
-
Theorem 9.1
Dersom en følge konvergerer, er den begrenset
-
kontinuitet
Definisjon:
En funskjon f(x) er kontinuerlig i punktet x0 ∈ Df dersom det
for et hvert tall ε > 0 finnes et tall δ > 0 slik at
0 < |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − f (x0)| < ε.
Theorem 1.8 (ekstremalverdisetningen)
Anta at f (x) er kontinuerlig p˚a [a, b] .Da finnes det to tall c, d ∈ [a, b] slik at f (c) ≤ f (x) ≤ f (d) for alle x ∈ [a, b].
Teorem 1.9 (Skjæringssetningen = Mellomverdisetningen)
Anta at f (x) er kontinuerlig p˚a [a, b]. Dersom f (a) ≠ f (b), og s er mellom f (a) og f (b),så finnes det et tall c ∈ (a, b) slik at f(c)=s
Trancendente funksjoner
Def:
Trancendente funksjoner er de funksjonene som ikke lar seg uttrykke av et endelig antall algebraiske operasjoner.
-
-
