Intégrales généralisées

Généralités

Conditions pour être localement intégrable ?

Admettre une intégrale de Rieman

Ex : Les fonctions continues (par morceaux) sont localement intégrables

Limite

Convergence

L'intégrale converge si la limite de cette dernière converge (La borne b doit être exclue)

Divergence

Idem pour la divergence (La borne a doit être exclue)

Critères de convergence

Critère de comparaison

Si 0 <= f(x) <=g(x) (valide dans l'autre sens)

Intégrale de g(x) converge alors intégrale de f(x) aussi

Intégrale de f(x) diverge alors intégrale de g(x) aussi

Critères de Riemann

Critère en +infini

Critère en 0

Converge ou diverge selon des cas précis (à connaître)

Converge ou diverge selon des cas précis (à connaître)

Critère d'équivalence

Deux fonctions f et g définies sur l'ensemble [a,b[ localement intégrables

De même nature si

f(ou g) de signe constant au voisinage de b

f(x) et g(x) équivalent en b

Absolue convergence

Si l'intégrale de la valeur absolue() de f(x) converge alors => convergence absolue*

Intégrable sur I

Converge

Dans le cas ou (*) diverge alors on dit que la fonction est semi-convergente

Petit théorème d'Abel