02_FUNZIONI

DEFINIZIONE + DOMINIO


il dominio è associato al concetto di funzione f, come se fosse una sua proprietà.


Siano X e Y due insiemi. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza che associa a ogni elemento x c X al più un elemento y c Y.


L’insieme degli x c X a cui f associa un elemento di Y forma il dominio di f;
esso è dunque un sottoinsieme di X, che indicheremo con dom_f.
Scriveremo quindi:


f: dom_f |C X --> Y


Se dom_f = X, diremo che f è definita su X e scriveremo più semplicemente f: X --> Y



OPERAZIONI
Mediante operazioni aritmetiche, è possibile generare nuove funzioni a partire da due funzioni a valori reali.
Se f: dom_f |C X-->R, possiamo definire le funzioni:


  • somma:


    (f + g)(x) = f(x) + g(x)


  • differenza:


    (f - g)(x) = f(x) - g(x)


  • prodotto:


    (fg)(x) = f(x)g(x)


  • quoziente


    (f / g)(x) = f(x) / g(x)



IL DOMINIO DELLE PRIME TRE:
dom_f intersecato dom_g


DOMINIO QUOZIENTE:
dom_f intersecato {x c dom_g | g(x) != 0}

IMMAGINE E CONTRO IMMAGINE


Spiegazione di come, variando il dominio/intervallo di considerazione sul grafico (su asse x),
l'immagine cambia su asse y.


E' come se il punto dal dominio/intervallo dell'asse x venisse sparato in alto ortogonalmente e venisse specchiato attraverso la bisettrice del primo e del terzo quadrante sull'asse y.


---Sono le vere facce della funzione quando viene infastidita dai punti del dominio, le sue reazioni sociali----


La contro immagine
La contro immagine è esattamente il contrario, si raccolgono in un insieme tutti i punti del dominio che hanno dato origine a quel particolare pezzo di immagine che si sta considerando in quel momento.




IMMAGINE:
Dominio proietta e crea una immagine, pezzi di dominio corrispondono ovviamente a pezzi di immagine


CONTRO-IMMAGINE
Prendo un insieme di punti di solito contigui dell'immagine e vedo e raggruppo un insimee di punti questa volta del dominio, che hanno creato precedentemente quella specifica immagine
Cioè il processo contrario.

Funzioni SURIETTIVE:
una funzione a valori in Y dicesi suriettiva su Y se im_f = Y, OGNI y c Y è immagine di almeno un elemento x c X.
-QUINDI tutta l'immagine ha una corrispondenza in x


Funzioni INIETTIVE:
Una funzione f dicesi iniettiva se ogni y c im_f è immagine di un solo elemento x c dom_f


Funzioni BIIETTIVE:
Una funzione f iniettiva e suriettiva si dice essere una funzione biiettiva tra il suo dominio e la sua immagine.




PRECISAMENTE, considerando il grafico di
nel piano e le sue intersezioni con la famiglia di rette orizzontali, la funzione risulta:


  • suriettiva su |R se ogni retta interseca il grafico in almeno un punto,
  • iniettiva se lo interseca al più in un punto,
  • biiettiva da |R in |R se lo interseca esattamente in uno e un solo punto.

Funzione INVERSA:


Se una funzione f è iniettiva, possiamo associare a ogni elemento y dell’immagine l’unico elemento x del dominio tale che f(x) = y.
Tale corrispondenza determina dunque una funzione definita in Y a valori in X, che viene detta funzione inversa di f ed indicata con il simbolo f^-1.


Si ha quindi:
x = f^-1 <--> y = f(x)



La funzione inversa f^-1 ha come dominio l’immagine di f e come immagine il dominio di f.


UNA FUNZIONE INIETTIVA E' DUNQUE INVERTIBILE, I DUE CONCETTI, INIETTIVITA' ED INVERTIBILITA' COINCIDONO.



Grafico:
il grafico della funzione inversa si ottiene da quello di
scambiando tra loro le componenti di ciascuna coppia.


Nel caso di una funzione reale di variabile reale, tale scambio corrisponde, nel piano cartesiano, alla riflessione rispetto alla retta y = x.
Pertanto, il grafico della funzione inversa si ottiene ribaltando il grafico della f rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.

Funzione MONOTONE:


  • monotone, crescenti/decrescenti:


    x1 < x2 ---> f(x1) <= f(x2)


  • strettamente monotone, crescenti/decrescenti:


    x1 < x2 ---> f(x1) < f(x2)




  • osservare che la somma di funzioni monotone concordi (cioè tutte crescenti oppure tutte decrescenti) è ancora una funzione monotona dello stesso tipo ed è strettamente monotona se almeno una delle funzioni lo è

Funzioni COMPOSTE:
h(x) = g(f(x))


--> DOMINIO
Il dominio della funzione composta g o f si determina così:
Affinché x appartenga al dominio di *g o f, deve innanzitutto essere definito f(x), dunque x
deve stare nel dominio di f;
inoltre, f(x) deve essere un elemento del dominio di g.


Pertanto:
x c dom_g o f <---> x c dom_f e f(x) c dom_g


Il dominio di g o f è dunque un sottoinsieme del dominio di f.

Funzioni ELEMENTARI
e proprietà

dominio

ESTREMO SUPERIORE


  • Chiamiamo estremo superiore di f su A l'estremo superiore dell'insieme f(A)
  • Diciamo che f è superiormente limitata su A se l'insieme f(A) è superiormente limitato, cioè se < infinity
  • SE invece il sup su A è finito ed appartiene a f(A), allora esso è il massimo di questo insieme. Tale numero viene detto il massimo di f su A ed indicato con max_f(x).



ESTREMO INFERIORE


analogo

GRAFICO


Una funzione, altro non è che la manipolazione che viene effettuata ad un punto del dominio sull'asse x per ottenere la conseguente immagine sull' asse y.
continuando ad applicare la manipolazione su tutti gli infiniti punti del dominio (facendo caso di una funzione definita su tutto R od una sua restrizione), avremo che ognuno di questi, uno "attaccato" all'altro sparerà in alto come un mortaio il risultato della sua manipolazione, che si andrà ad attestare in uno degli infiniti punti (facendo caso che la funzioni mandi da R in R, quindi sia in R^2) dell'asse Y.


UNENDO insieme tutti questi colpi di mortaio, facendo finta di "iniziare" a considerare la funzione da un certo punto in poi, come se il tempo passasse nel mondo reale, avremo come risultato sul piano cartesiano il GRAFICO della funzione stessa



Il grafico di f è il sottoinsieme |T(f) del PRODOTTO CARTESIANO X x Y costituito dalle coppie (x, f(x))


|T(f) = {(x,f(x)) c X x Y, x c dom_f}



IL GRAFICO FINALE è come un obbiettivo di una macchina fotografica che cattura luce a lunga esposizione, fornendo un'immagine complessiva unitaria, ed i limiti possono essere pensati come limiti su di un campo temporale, avendo associato ogni unità di tempo (come valore in R) ad un valore dell'asse x del dominio (come valore in R)

FUNZIONI DEFINITE A TRATTI


  • valore assoluto
  • segno
  • parte intera
  • mantissa

Sia f una funzione biiettiva definita su X a valori in Y.
Allora la funzione inversa f^-1 è definita su Y, ed è anch’essa iniettiva e suriettiva (su X );
Dunque, è una biiezione di Y in X.
✅

PROPOSIZIONE 2.10
Se f è strettamente monotona sul suo dominio, allora f è iniettiva.


DIMOSTRAZIONE:
-Supponiamo, che f sia strettamente crescente.
Presi due numeri x1, x2 c dom_f, con x1 != x2,
sarà x1 < x2 oppure x2 < x1.
Nel primo caso, otteniamo f(x1) < f(x2) e dunque certamente f(x1) != f(x2). Nel secondo caso, arriviamo alla stessa conclusione scambiando il ruolo di x1 e x2.

funzioni composte

INIETTIVITA' SURIETTIVITA' BIIETTIVITA'



Se f e g sono entrambe funzioni iniettive (oppure suriettive, oppure biiettive), non è difficile verificare che la funzione composta g o f abbia la stessa proprietà.
In particolare, nel caso dell’iniettività, vale la formula:


  • (g o f)^-1 = f^-1 o g^-1

MONOTONIA


Se f e g sono funzioni reali di variabile reale monotone, anche la g o f sarà monotona:
precisamente, sarà monotona crescente se f e g sono entrambe monotone crescenti oppure monotone decrescenti,
mentre sarà monotona decrescente negli altri casi.


Verifichiamo una di tali proprietà.
Sia ad esempio f crescente e g decrescente;
se x1 < x2 sono due elementi di dom_g o f, allora dalla monotonia di f si deduce f(x1) <= f(x2); successivamente,
la monotonia di g implica che g(f(x1)) >= g(f(x2)).
Dunque g o f risulta decrescente.

INVERSA:


Se f è una funzione iniettiva e dunque esiste la funzione inversa f^-1, si ha la funzione identità.

TRASLAZIONI:


f(x + c) --> Traslazione orizzontale

  • c > 0 traslazione verso sinistra
  • c < 0 traslazione verso destra

f(x) + c --> Traslazione verticale

  • c > 0 traslazione verso l'alto
  • c < 0 traslazione verso il basso

f(c*x) --> Cambiamento di scala orizzontale

  • c > 0 compressione orizzontale verso origine
  • 0 < c < 1, dilatazione, fuga orizzontale dall'origine

c*f(x) --> Cambiamento di scala verticale

  • c > 1 dilatazione orizzontale in fuga dall'origine
  • 0 < c <1 compressione verticale verso l'originale

riflessioni

RIFLESSIONI

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