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Circuitos de segundo orden, image, image, image, image, Nombre: César…

- - - - Segundo, tenga presente que la tensión del capacitor siempre es continua, de modo que:
        
        y que la corriente del inductor siempre es continua, de modo que:
- - - - Características
        
        Se denomina Respuesta Natural cuando la bobina o el condensador se desconecta abruptamente de su fuente continua. Se analizará las corrientes y tensiones que se producen cuando la energía almacenada se libera súbitamente hacia una red resistiva.
        
        Para calcular la respuesta natural de un circuito RLC serie, es preciso determinar la corriente que atraviesa los elementos conectados en serie debido a la liberación de la energía inicialmente almacenada en la bobina, en el condensador o en ambos.
        
        Como antes, la corriente inicial que atraviesa la bobina, lo, Y la tensión inicial en el condensador, Vo, representan la energía inicialmente almacenada. Si nos interesa hallar la tensión en algunos de los elementos individuales, podemos calcularla después de determinar la corriente
      - Una cuestión importante es que la frecuencia neperiana de un circuito RLC en serie es diferente de un circuito RLC en paralelo, aunque las frecuencias resonantes son las mismas
        para ambos tipos de circuitos.
      - La respuesta de la corriente estará sobreamortiguada, subamortiguada o críticamente amortiguada
        
        Caso 1: sobreamortiguado
        
        Características
        
        Una de las características las oscilaciones iniciales del sistema se disipan rápidamente debido a la alta resistencia y al exceso de amortiguamiento, llevando al sistema a su estado de equilibrio sin oscilar.
        
        La respuesta está sobreamortiguada cuando las raíces de la ecuación característica del circuito son diferentes y reales.
        
        El circuito sobreamortiguado no exhibe oscilaciones libres, sino que regresa rápidamente a su estado de equilibrio.
        
        Si α>wo se tiene el caso de Sobreamortiguado.
        
        Fórmula
        
        Ejercicio
        
        En la figura 8.8, R =40 , L =4 H y C =1/4 F. Calcule las raíces características del
        circuito. ¿La respuesta natural está sobre, sub o críticamente amortiguada?
        
        Gráfica
        
        Caso 3: Subamortiguado
        
        Si α<wo se tiene el caso de subamortiguado
        
        Características
        
        El tiempo necesario para que la respuesta alcance su estado estacionario en un circuito subamortiguado es mayor que en un circuito críticamente amortiguado, pero menor que en un circuito sobreamortiguado.
        
        Una de las características es que la respuesta para que se dé el caso subamortigauado es cuando las raíces son complejas.
        
        Las oscilaciones en un circuito subamortiguado siguen una forma sinusoidal, lo que significa que la corriente y la tensión en el circuito oscilan alrededor del punto de equilibrio.
        
        Gráfica
        
        Fórmula
        
        Ejercicio
        
        El circuito RLC serie que se muestraen la Figura 7.3.4 tiene los siguientes parámetros: C = 0.04F,L = 1H,R=6Ω, iL (0)=4A y vc (0)=-4V. Determinemos laexpresión para la corriente en la bobina y el voltaje en el capacitor.
        
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        Caso 2: Criticamente amortiguado
        
        Si α=wo se tiene el caso críticamente amortiguado
        
        Características
        
        Una de las características que tiene es que las raíces son iguales y reales.
        
        Una de las características es que la respuesta del circuito alcanza su estado estacionario lo más rápido posible sin oscilaciones adicionales.
        
        Fórmula
        
        Ejercicio
        
        Para el circuito mostrado en la Figura 7.3.6 se pideencontrar el valor de v(t) e i(t), sabiendo que: R1=10Ω, R2=8Ω, C=1/8 F, L=2 H, vc (0)=1V, iL(0)=1/2 A .
        
        Primero encontraremos v(t) y luego i(t). Para v(t), necesitamos encontrar la ecuacióndiferencial que describe al circuito, para ello es necesario aplicar una combinación deleyes para encontrarla. Primero usaremos la LKV a la malla de la izquierda, así:
        
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  - - - La ecuación característica se obtiene como:
      - Las raíces de la ecuación característica son:
      - Casos
        
        Caso sobre amortiguado (α>wo)
        
        Características
        
        Las raíces de la ecuación característica son reales y negativas.
        
        El circuito sobre amortiguado alcanzará su estado estacionario más rápidamente que un circuito subamortiguado, ya que la resistencia actúa para disipar la energía almacenada en el circuito.
        
        A diferencia del caso críticamente amortiguado o subamortiguado, la respuesta no oscilará, sino que se acercará gradualmente al valor final.
        
        Gráfica
        
        Fórmula
        
        Ejercicio
        
        Halle v(t) para t>0 en el circuito RLC de la figura 8.15
        
        Cuando t 0, el interruptor se encuentra abierto; el inductor actúa como cortocircuito, mientras que el capacitor se comporta como circuito abierto. La tensión inicial a través del capacitor es igual que la tensión a través del resistor de 50 Ω ; es decir:
        
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        Caso críticamente amortiguado (α=wo)
        
        Fórmula
        
        Características
        
        Las raíces son reales e iguales.
        
        La respuesta transitoria se estabiliza rápidamente sin oscilaciones ni sobreimpulsos.
        
        En el caso críticamente amortiguado no hay oscilaciones.
        
        Ejercicio
        
        En el circuito en paralelo de la figura 8.13, halle v(t) para t>0, suponiendo v(0)=5V, i(0)=0, L=1 H y C=10 mF. Si se tiene una: R=5 Ω .
        
        Mientras que wo=10 permanece igual. Puesto que α=wo=10, la respuesta está críticamente amortiguada. Por lo tanto, s1=s2=-10, y
        
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        Caso subamortiguado (α<wo)
        
        Características
        
        En este caso las raíces son complejas.
        
        Cuando se aplica una tensión o una corriente inicial al circuito, los elementos L y C oscilan alrededor del valor de estado estacionario antes de alcanzar la estabilización final.
        
        La amplitud de las oscilaciones disminuye con el tiempo debido al amortiguamiento proporcionado por la resistencia.
        
        Fórmula
        
        Ejercicio
        
        Resolver el siguiente circuito RLC PARALELO sin fuente, hallar i(0), v(0) en t<0, α, wo.
        t<0.
        
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