CARRERA:
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE COTOPAXI
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA Y APLICADAS
INGENIERÍA ELÉCTRICA
ASIGNATURA:
CIRCUITOS ELÉCTRICOS
DOCENTE:
ING. DIEGO JIMÉNEZ J.
MAYO 2023 – AGOSTO 2023
LATACUNGA - ECUADOR
ESTUDIANTE:
JEFFERSON JOHAN ORTEGA SALTOS
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
RESPUESTA NATURAL
Circuitos generales de segundo orden
Los circuitos RLC están formados por resistores, capacitores e inductores, para realizar el estudio transitorio el circuito se resuelve reemplazando los capacitores como circuito abierto, y los inductores como cortocircuito.
Para este análisis transitorio se emplea la frecuencia neperiana o llamada coeficiente de amortiguamiento exponencial (α), y la frecuencia de resonancia (w). [1]
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
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Refereencias bibliograficas
[1] X. F. N. Yanza y D. I. R. Loza, «ANÁLISIS DE LA RESPUESTA NATURAL DE CIRCUITOS RC, RL, RLC.».
[2] «fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku.pdf». Accedido: 19 de julio de 2023. [En línea]. Disponible en: https://steltda.files.wordpress.com/2014/03/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku.pdf
CIRCUITO RLC SERIE SIN FUENTE
RESPUESTA DE ESCALON
Resolver esa ecuación diferencial de segundo orden requiere que haya dos condiciones iniciales, como el valor inicial de i y de su primera derivada o el valor inicial de algunas i y v. De la sustitucion y la realizacion de las derivadas necesarias se obtiene.[2]
Esta ecuación cuadrática se conoce como ecuación característica de la ecuación diferencial, ya que sus raíces dictan el carácter de i. Las dos raíces de la ecuación son: [2]
Las raíces s1 y s2 se denominan frecuencias naturales, medidas en nepers. Los dos valores de s en la ecuación ,indican que hay dos posibles soluciones para i, cada una de las cuales es de la forma.[2]
Caso críticamente amortiguado (α=w)
Caso sobreamortiguado. (α>w0)
Caso subamortiguado (α<w)
CARACTERISTICAS
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El comportamiento de una red de este tipo se presenta en la idea de amortiguamiento, el cual es la pérdida gradual de la energía almacenada inicialmente.[2]
El efecto de amortiguamiento se debe a la presencia de La resistencia R.[2]
Se dice que el circuito es sin pérdidas, porque el elemento disipador o amortiguador (R) está ausente. Ajustando el valor de R, la respuesta puede volverse no amortiguada, sobreamortiguada, críticamente amortiguada o subamortiguada.Dado que α<w0 en este caso la respuesta no sólo es no amortiguada, si no también oscilatoria.[2]
La respuesta oscilatoria es posible debido a la presencia de los dos tipos de elementos de almacenamiento. La disposición tanto de L como de C permite que el flujo de energía vaya y venga entre los dos [2]
El factor de amortiguamiento α determina la velocidad con la cual se amortigua la respuesta. Si R=0, entonces α=0 y se tiene un circuito LC con 1/√LC como frecuencia natural no amortiguada.[2]
CIRCUITO RLC EN PARALELO SIN FUENTE
Considérese el circuito RLC en paralelo que se presenta en la figura 8.13. Suponiendo que la corriente inicial del inductor I0 y la tensión inicial del capacitor V0 [2]
Las raíces de la ecuación característica son. [2]
Se obtiene la ecuación característica remplazando la primera derivada por s y
la segunda derivada por s^2. [2]
Puesto que los tres elementos están en paralelo, tienen la misma tensión v en sus extremos. Al tomar la derivada respecto a t y dividir entre C resulta. [2]
Caso sobreamortiguado α>w0
Caso criticamente amortiguado α=w0
Caso subamortiguado α<w0
Las constantes A1 y A2. pueden determinarse en cada caso con base en las condiciones
Se necesita v(0) y dv(0)/dt. [2]
CARACTERISTICAS
Habiendo hallado la tensión del capacitor v(t) para el circuito RLC en paralelo como se ha indicado aquí, se pueden obtener fácilmente otras variables del circuito, como las corrientes en cada uno de elementos individuales.
Las formas de onda de la tensión son similares a las que se mostraron en el circuito RLC en serie y dependerán de si el circuito está sobre, sub o críticamente amortiguado.
Respuesta escalón de un circuito RLC en serie
La respuesta de escalón se obtiene de la aplicación súbita de una fuente de cd. Considérese el circuito RLC en serie que se muestra en la figura 8.18. [2]
Al aplicar la LTK a lo largo la malla para t > 0. [2]
La solución de la ecuación tiene dos componentes: la respuesta transitoria v(t) y la respuesta en estado estable vss(t). [2]
La respuesta transitoria v(t) es el componente de la respuesta total que se extingue con el tiempo, en estado estable es el valor final de v(t), el valor final de la tensión del capacitor es igual que el de la tensión de fuente Vs por lo tanto. [2]
Así, las soluciones completas de los casos sobre, sub y críticamente amortiguado
son:
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SOBREAMORTIGUADO
CRITICAMENTE AMORTIGUADO
SUBAMORTIGUADO
CARACTERISTICAS
Los valores de las constantes A1 y A2 se obtienen de las condiciones iniciale: V(0) y dv(0)/dt tenga en cuenta que v e i son la tensión a través del capacitor y la corriente a través del inductor, respectivamente. Una vez conocida la tensión del capacitor se puede determinar i= C dv/dt. Así pues, la tensión a través del resistor es Vr= iR mientras que la tensión del inductor es Vl=L di/dt.
Alternativamente, la respuesta completa para cualquier variable x(t) puede hallarse en forma directa, porque tiene la forma general [2].
Este circuito se excita con la energía inicialmente almacenada en el capacitor y el inductor. Tal energía está representada por la tensión inicial del capacitor V0 y la corriente inicial del inductor I0. Así en t=0. [2]
Respuesta de escalón de un circuito RLC en paralelo
CRITICAMENTE AMORTIGUADO
SUBAMORTIGUADO
SOBRE AMORTIGUADO
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Interesa hallar la i debida a la aplicación repentina de una corriente de cd. Al aplicar
la LCK al nodo superior para t > 0. [2]
Al sustituir v en la ecuación y dividir entre LC se obtiene.[2]
La solución completa de la ecuación consta de la respuesta natural i(t) y la respuesta en forzada iss esto es. [2]
La respuesta forzada es el valor final de i. El valor final de la corriente a través del inductor es igual que el de la corriente de fuente Is. [2]
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CARACTERÍSTICAS
Dado un circuito de segundo orden, se determina su respuesta de escalón x(t) (la cual puede ser en tensión o en corriente) considerando los cuatro pasos siguientes: [2]
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Primero se determinan las condiciones iniciales x(0) y dx(0)/dt y el valor final x(∞) [2]
Se halla la respuesta natural x (t) aplicando las LCK y LTK. Una vez obtenida una ecuación diferencial de segundo orden, se determinan sus raíces características. Dependiendo de si la respuesta está sobrea mortiguada, subamortiguada o críticamente amortiguada, se obtiene x(t) con dos constantes desconocidas. [2]
Se obtiene la respuesta forzada como [2]
La respuesta total se halla ahora como la suma de la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable. [2]
Por último, se determinan las constantes asociadas con la respuesta transitoria imponiendo las condiciones iniciales x(0) y dx(0)/dt. Determinadas en el paso 1 [2]
Este procedimiento general puede aplicarse para hallar la respuesta de escalón de cualquier circuito de segundo orden, incluidos aquellos con amplificadores operacionales. [2]
Ejemplos:
- Un circuito RLC en serie tiene R=10 k, L=0.1 mH y C= 10 uF ¿Qué tipo de amortiguamiento exhibe?
α=R/2L
=(10x10^3)/(2x0.1x10^-3 )=50x10^6
w0=1/√LC
=1/√(0.1x10^(-3)x10^(-6) )=3.162x10^4
α>w_0
Sobreamortiguado [2]
3.Una corriente de rama se describe con
Determine: a) La ecuación caracteristica, b) el tipo de amortiguamineo exhibido por el circuito, c) i(t) dado que i(0)=1 y di(0)/dt=2
S^2 +4s+10=0
Este es un caso Subamortiguado
i(t)=(Axcos2.45t + B sin2.45t)e^-2t
di/dt = (-2ACos2.45t - 2BSin2.45t - 2.45ASin2.45t + 2.45t + 2.45BCos2.45t)e^-2t
i(0) = 1 = A
di(0)/dt = 2 = -2A + 2.45B = -2 + 2.45B
B = 1.632
i(t) = [ cos(2.45t) + 1.632 Sin(2.45t) ]e^-2t A . [2]
- La corriente en un circuito RLC se describe con
Si i(0) = 10 y di(0)/dt = 0 , Halle: i(t) para t>0
S1,2= -5
di/dt = [Be^-5t]+[-5(A+Bt)e^-5t ]
di(0)/dt = 0 = B - 5A = B -50
B = 50
[2]
Ejemplo
En relación con la red de la figura 8.76, ¿qué valor de C se necesita para que la respuesta sea subamortiguada con un factor de amortiguamiento unitario α=1. [2]
Subamortiguado
. [2]
Ejemplo
La tensión en una rama de un circuito RLC se describe con
Si las condiciones iniciales son v(0)= 0= dv(0)/dt halle v(t)
V(t) = Vs +(ACos 2t + ASen2t)e^-2t
dv/dt = -2(ACos2t + Asen2t)e^-2t + (-2ASen2t + 2ACos2t)e^-2t
0 = dv(0)/dt = -2A1 +2A2
v(t) = 3 - 3(Cos2t +sen2t)e^-2t V
Ejemplo
Halle la tensión de salida vo(t) en el circuito [2].
críticamente amortiguada
V0 = L di/dt = [Be^-10t] + [-10 (A + Bt)e^-10t
V(0)= 0 =B-10A
B=-20
Ejemplo.
Después de estar abierto durante un día, el interruptor en el circuito de la figura 8.99 se cierra en t = 0. Halle la ecuación diferencial que describe a i(t), t > 0. [2]
t<0, i(0)=0 , Vc(0)=120V
t>0
(d^2 / dt^2) + 0.125(di/dt) + 400i = 600
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Alternativamente la respuesta completa para cualquier variable x(t) puede hallarse de manera directa, usando [2]
La corriente a través del resistor es iR= V/R mientras que la corriente del capacitor es iC =C dv/dt. [2]
Se debe tener en cuenta que la ecuación sólo se aplica para la determinación de la corriente del inductor i. Una vez conocida la corriente del inductor iL = i , se puede ha- llar v = L di/dt [2].
Las constantes A1 y A2 pueden determinarse en cada caso a partir de las condiciones iniciales de i y di/dt. [2]