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CARRERA:, SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN, Así, las soluciones completas de los…

- - - - Resolver esa ecuación diferencial de segundo orden requiere que haya dos condiciones iniciales, como el valor inicial de i y de su primera derivada o el valor inicial de algunas i y v. De la sustitucion y la realizacion de las derivadas necesarias se obtiene.[2]
        
        Esta ecuación cuadrática se conoce como ecuación característica de la ecuación diferencial, ya que sus raíces dictan el carácter de i. Las dos raíces de la ecuación son: [2]
      - Este circuito se excita con la energía inicialmente almacenada en el capacitor y el inductor. Tal energía está representada por la tensión inicial del capacitor V0 y la corriente inicial del inductor I0. Así en t=0. [2]
    - - El comportamiento de una red de este tipo se presenta en la idea de amortiguamiento, el cual es la pérdida gradual de la energía almacenada inicialmente.[2]
        
        El efecto de amortiguamiento se debe a la presencia de La resistencia R.[2]
        
        Se dice que el circuito es sin pérdidas, porque el elemento disipador o amortiguador (R) está ausente. Ajustando el valor de R, la respuesta puede volverse no amortiguada, sobreamortiguada, críticamente amortiguada o subamortiguada.Dado que α<w0 en este caso la respuesta no sólo es no amortiguada, si no también oscilatoria.[2]
        
        La respuesta oscilatoria es posible debido a la presencia de los dos tipos de elementos de almacenamiento. La disposición tanto de L como de C permite que el ﬂujo de energía vaya y venga entre los dos [2]
        
        El factor de amortiguamiento α determina la velocidad con la cual se amortigua la respuesta. Si R=0, entonces α=0 y se tiene un circuito LC con 1/√LC como frecuencia natural no amortiguada.[2]
  - - - Las raíces de la ecuación característica son. [2]
        
        Caso sobreamortiguado α>w0
        
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        Se obtiene la ecuación característica remplazando la primera derivada por s y
        la segunda derivada por s^2. [2]
        
        Puesto que los tres elementos están en paralelo, tienen la misma tensión v en sus extremos. Al tomar la derivada respecto a t y dividir entre C resulta. [2]
    - - Habiendo hallado la tensión del capacitor v(t) para el circuito RLC en paralelo como se ha indicado aquí, se pueden obtener fácilmente otras variables del circuito, como las corrientes en cada uno de elementos individuales.
      - Las formas de onda de la tensión son similares a las que se mostraron en el circuito RLC en serie y dependerán de si el circuito está sobre, sub o críticamente amortiguado.
- - - - Primero se determinan las condiciones iniciales x(0) y dx(0)/dt y el valor final x(∞) [2]
      - Se halla la respuesta natural x (t) aplicando las LCK y LTK. Una vez obtenida una ecuación diferencial de segundo orden, se determinan sus raíces características. Dependiendo de si la respuesta está sobrea mortiguada, subamortiguada o críticamente amortiguada, se obtiene x(t) con dos constantes desconocidas. [2]
      - Se obtiene la respuesta forzada como [2]
      - La respuesta total se halla ahora como la suma de la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable. [2]
      - Por último, se determinan las constantes asociadas con la respuesta transitoria imponiendo las condiciones iniciales x(0) y dx(0)/dt. Determinadas en el paso 1 [2]
      - Este procedimiento general puede aplicarse para hallar la respuesta de escalón de cualquier circuito de segundo orden, incluidos aquellos con ampliﬁcadores operacionales. [2]
    - - Después de estar abierto durante un día, el interruptor en el circuito de la ﬁgura 8.99 se cierra en t = 0. Halle la ecuación diferencial que describe a i(t), t > 0. [2]
        
        t<0, i(0)=0 , Vc(0)=120V
        
        t>0
        
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- - - - Al sustituir v en la ecuación y dividir entre LC se obtiene.[2]
        
        Interesa hallar la i debida a la aplicación repentina de una corriente de cd. Al aplicar
        la LCK al nodo superior para t > 0. [2]
    - - Alternativamente la respuesta completa para cualquier variable x(t) puede hallarse de manera directa, usando [2]
        
        La corriente a través del resistor es iR= V/R mientras que la corriente del capacitor es iC =C dv/dt. [2]
        
        Se debe tener en cuenta que la ecuación sólo se aplica para la determinación de la corriente del inductor i. Una vez conocida la corriente del inductor iL = i , se puede ha- llar v = L di/dt [2].
        
        Las constantes A1 y A2 pueden determinarse en cada caso a partir de las condiciones iniciales de i y di/dt. [2]
- - - - La tensión en una rama de un circuito RLC se describe con
        
        Si las condiciones iniciales son v(0)= 0= dv(0)/dt halle v(t)
        
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- - - - Ejemplo
        
        Halle la tensión de salida vo(t) en el circuito [2].
        
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- - - - Ejemplos:
        
        Un circuito RLC en serie tiene R=10 k, L=0.1 mH y C= 10 uF ¿Qué tipo de amortiguamiento exhibe?
        
        α=R/2L
        =(10x10^3)/(2x0.1x10^-3 )=50x10^6
        
        w0=1/√LC
        =1/√(0.1x10^(-3)x10^(-6) )=3.162x10^4
        
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        3.Una corriente de rama se describe con
        
        Determine: a) La ecuación caracteristica, b) el tipo de amortiguamineo exhibido por el circuito, c) i(t) dado que i(0)=1 y di(0)/dt=2
        
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        La corriente en un circuito RLC se describe con
        
        Si i(0) = 10 y di(0)/dt = 0 , Halle: i(t) para t>0
        
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- - - - La solución de la ecuación tiene dos componentes: la respuesta transitoria v(t) y la respuesta en estado estable vss(t). [2]
        
        La respuesta transitoria v(t) es el componente de la respuesta total que se extingue con el tiempo, en estado estable es el valor ﬁnal de v(t), el valor ﬁnal de la tensión del capacitor es igual que el de la tensión de fuente Vs por lo tanto. [2]
      - Al aplicar la LTK a lo largo la malla para t > 0. [2]
- - - - En relación con la red de la ﬁgura 8.76, ¿qué valor de C se necesita para que la respuesta sea subamortiguada con un factor de amortiguamiento unitario α=1. [2]
        
        Subamortiguado
        
        . [2]