Circuitos de segundo orden.
Significa
Circuito RLC. Tienen dos elementos pasivos, estas interactúan para influir en la respuesta del sistema a las señales eléctricas.
Produce respuestas de tipo oscilatorio, incluso cuando no hay fuentes en el sistema.
La respuesta natural se dividen en:
Se describen mediante una ecuación diferencial de segundo orden.
Relaciona la corriente o la tensión con el tiempo.
Circuitos conectados en serie.
Circuitos conectados en paralelo.
Ley de corriente de Kirchhoff
Ley de tensión de Kirchhoff
Los circuitos de segundo orden son de gran importancia en la teoría de control, ya que se utilizan para modelar y analizar sistemas físicos y eléctricos.
Al resolver la ecuación diferencial se obtiene la respuesta natural.
Se divide en tres categorías.
Sobreamortiguado.
Críticamente Amortiguado
Subamortiguado.
Al resolver la ecuación diferencial se obtiene la respuesta natural.
Entonces.
Entonces.
Raíces.
En serie.
De las raíces de LTK quedan las constantes Alfa y Omega.
Es un sistema que en otros términos "resuena" con una determinada frecuencia.
Ecuación característica
Aplicando LCK.
Se obtienen ecuaciones diferenciales de segundo orden y la solución es la ecuación característica.
Aplicando LTK.
Se obtienen ecuaciones diferenciales de segundo orden y la solución es la ecuación característica.
Las raíces de las ecuaciones diferenciales se pueden expresar tanto en circuitos RLC en serie y en paralelo de la siguiente forma:
Respuesta.
Donde las raíces de la ecuación característica S1,S2 es menos alfa
Es una suma de dos términos: una exponencial negativa multiplicada por un término lineal
Respuesta
Respuesta.
Respuesta Natural Sin fuente.
Significa.
Causada por las condiciones iniciales del circuito es decir sin ninguna señal aplicada.
Describe cómo las corrientes y voltajes almacenados que evolucionan y se estabilizan a lo largo del tiempo.
Ocurre por la presencia de elementos de almacenamiento de energía.
Puede haber diferentes tipos de respuestas naturales, dependiendo de la relación entre estos valores.
Raíces complejas conjugadas.
Los respuestas son:
Sobreamortiguadas.
Críticamente
amortiguada
Subamortiguada.
Al evaluarlo en i(0) puede expresarse como:
El termino Omega (frecuencia resonante) es pequeño respecto ha alfa (factor de amortiguamiento)
la expresión dentro de la raíz cuadrada será positiva
"s1,s2" será dos números reales, ambos negativos
El factor de amortiguamiento y la frecuencia de resonancia están balanceadas, y el término dentro de la raíz cuadrada se hace 0
Las raíces de la ecuación característica, s1,2, son dos números reales idénticos, llamados raíces repetidas
La raíz cuadrada tiene un número negativo adentro, y s resulta ser dos números complejos conjugados, con partes real e imaginaria
La corriente se ve como una onda de seno que disminuye a través del tiempo.
Alfa es el factor de amortiguamiento y Omega es la frecuencia resonante
El criterio se aplica en Serie y en paralelo.
En paralelo
De las raíces de LCK quedan las constantes Alfa y Omega.
Las raíces de la ecuación característica son:
Los tres elementos tienen la misma tensión en sus extremos, Mientras que en cada elemento entra una corriente.
Se divide en tres respuestas
Críticamente amortiguado
Sobreamortiguado
Subamortiguados
La respuesta es
La resistencia del circuito es lo suficientemente alta como para dominar sobre los efectos inductivos y capacitivos.
Muestra una disminución suave y rápida hacia el estado estacionario sin oscilaciones.
Cuando
Las raíces de la ecuación son reales y negativas.
Cuando
Las raíces son reales e iguales.
La respuesta se caracteriza por un tiempo de respuesta más corto en comparación con el caso sobreamortiguado.
La respuesta transitoria muestra una disminución rápida y sin oscilaciones hacia el estado estacionario.
Cuando
Las raíces son complejas.
La respuesta es
Las raíces se puede expresar como
Donde:
La respuesta es
Las constantes A1 y A2 pueden determinarse en cada caso con base en las condiciones iniciales. v(0) y dv(0)/dt.
Reacciona con las energías inicialmente almacenada en el capacitor y el inductor.
Las dos raíces de la ecuación característica son
En términos de alfa y Gamma también puede escribirse como
Se asocian con la respuesta natural del circuito.
Donde
Es la respuesta natural del circuito RLC en serie.
Cuando
Las raíces s1 y s2 de la ecuación característica son negativas y reales.
La cual decrece y tiende a cero al aumentar t.
La corriente se aproximan a su valor final sin oscilación.
Cuando
Las raíces pueden escribirse como:
Con la presencia de las funciones seno y coseno, es claro que la respuesta natural para este caso está amortiguada exponencialmente y es de naturaleza oscilatoria.
La oscilación es más persistente a medida que alfa disminuye.
Las graficas son similares a las de serie.
Ejemplo
Circuito RLC sin fuente.
Hallar la función tención con las condiciones iniciales v(0)=0 y iL(0)=10A
La respuesta transitoria muestra oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estacionario.
La respuesta tiene una constante de tiempo y un periodo de
Para eliminar la integral se deriva con respecto a t.
La respuesta solución que se intenta hallar es
Se expresa de la forma:
donde:
o tambien
Raíces reales
iguales.
Su comportamiento dinámico y su respuesta en frecuencia son fundamentales para comprender y diseñar sistemas de control.
Generan una respuesta que decae con el tiempo.
Es debido a la energía inicial almacenada.
La forma específica de la respuesta natural depende de los valores de R, L y C del circuito.
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Una corriente de rama se describe con
Determinar:
a) La ecuación característica
b) El tipo de amortiguamiento exhibido por el circuito.
1
2 3
Respuesta Subamortiguada.
c) i(t) dado que i (0) =1 y di (0) /dt=2
1 2
3 4
Las corrientes en un circuito RLC se describen con
Si i (0) =10 y di (0) /dt=0, halle i(t) para t>0
Solución
- La ecuación característica es
3.Para hallar la raíz
Corriente en el tiempo
Un circuito RLC en serie tiene R= 10kohm, L=0.1mH y C=10uF. ¿Qué tipo de amortiguamiento exhibe?
Calculo de las constantes
- Hallar las constantes.
- Raíces
- La señal del voltaje con condición inicial es
- Para la segunda condición iL(0)=10A
El voltaje que depende del tiempo para el circuito es
Halle v(t) para t>0, suponiendo v(0)=5v, i(0)=0, L=1H, C=10mF y R=6.25 ohm
- Hallar las constantes
y
- Hallar las raíces
- La tención en el circuito es
- Para la constante 2 usa LCK
Cuando t=0
Resolviendo
Reacomodando
Sustituyendo v(0)
- Para v(t)
Derivando v(t) y sustituyendo
- Evaluamos
- Con las variables encontradas
Sustituyendo v(t)
Bibliografía Tutorial Circuito RLC paralelo sin fuente subamortiguado con simulacion en Multisim, (30 de diciembre de 2021). Accedido: 18 de julio de 2023. [En línea Video]. Disponible en:
Bibliografía ✅CIRCUITO RLC en PARALELO sin FUENTE | ANÁLISIS PASO a PASO| ANÁLISIS de CIRCUITOS en INGENIERÍA, (19 de octubre de 2015). Accedido: 18 de julio de 2023. [En línea Video]. Disponible en:
Bibliografía: «fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku.pdf». Accedido: 18 de julio de 2023. [En línea]. Disponible en: https://steltda.files.wordpress.com/2014/03/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku.pdf
Bibliografía: «fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku.pdf». Accedido: 18 de julio de 2023. [En línea]. Disponible en: https://steltda.files.wordpress.com/2014/03/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku.pdf
Bibliografía: «fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku.pdf». Accedido: 18 de julio de 2023. [En línea]. Disponible en: https://steltda.files.wordpress.com/2014/03/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku.pdf
Bibliografías
«fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku.pdf». Accedido: 18 de julio de 2023. [En línea]. Disponible en: https://steltda.files.wordpress.com/2014/03/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku.pdf
«09_Circuitos_de_Segundo_Orden_RLC.pdf». Accedido: 18 de julio de 2023. [En línea]. Disponible en: http://wwwprof.uniandes.edu.co/~ant-sala/cursos/FDC/Contenidos/09_Circuitos_de_Segundo_Orden_RLC.pdf
«CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN.pdf». Accedido: 18 de julio de 2023. [En línea]. Disponible en: https://frrq.cvg.utn.edu.ar/pluginfile.php/15751/mod_resource/content/1/CIRCUITOS%20DE%20SEGUNDO%20ORDEN.pdf
El comportamiento cuando tienen valores iniciales es diferente.
Quedando de la siguiente manera.
Para el siguiente circuito v(t)c e i(t)L
CIRCUITO RLC PARALELO CRITICAMENTE AMORTIGUADO EJERCICIO RESUELTO 01, (21 de julio de 2021). Accedido: 19 de julio de 2023. [En línea Video]. Disponible en:
Hallar corriente y voltaje en t (0) t<0
- Hallar alfa y omega
Alfa y omega son iguales entonces tenemos una respuesta críticamente amortiguada
- Para Vc e iL
Hallar y
La relación con el inductor es La relación con el capacitor es
Donde
- Corriente para el Inductor
Hallar A1 y A2
A1:
A2:
- Voltaje para el Capacitor
UNIVERSIDAD TECNICA DE COTOPAXI
LUIS MARCELO CASA QUINATOA
TERCERO "A"
ING. DIEGO JIMENEZ