Statistica

schema finale? si spera

Approssimo Binomiale Bernoulli con Poisson

Se n>=50

Se p<=0.1

Test d'ipotesi

Errori

Errore tipo II: non rifiuto H0 quando H1 è vera

Potenza notevole: 1-(B), ovvero complementare dell'errore tipo II

Verifica ipotesi

probabilità rischio

media variata

potenza del test

distribuzione normale

varianza nota

campione piccolo

studio con statistica test t (Student, pA15)
ha senso perchè student è uno dei pochi che mi da grado di libertà e l'intervallo di confidenza

altre distribuzioni

Media campionaria differisca di x

Senza conoscere legge probabilità che distribuisce popolazione

Se n è abbastanzza grande

TCL Teorema Centrale Limite approssima gli scarti fra media campionaria e valore atteso teorico con legge gaussiana

Errore tipo I: rifiuto H0 quando H0 è vera

Tipologie ipotesi

Code

Ad una coda (UNILATERALE)

Quando maggiore o minore

Due code (BILATERALE)

Quando uguale, abbiamo due regioni. Quella negativa e positiva

Ipotesi nulla (H0): quello che credavamo vero

Ipotesi alternativa (H1): quello che vogliamo trarre

Tipo test

Sulla media

Campione piccolo, varianza incognita

Campione grande, varianza nota

Statistica Z

Statistica T

Distribuzioni

Distribuzione Nota

Probabilmente Gaussiana/Normale. Comunque è nota

Campione

maggiore 30

Teorema Centrale del Limite

<30

non lo so

Qualsiasi altro caso

Disuguaglianza di Chebychev

Andamento variabili aleatorie

Poisson

Quando conto numero occorrenze fenomeno in un intervallo di tempo o spazio (devono essere indipendenti)

Confidenza

Campione piccolo (<30

Varianza ignota

t Student

che quindi approssima a curva normale con abbastanza n

Tipologia esame

Probabilità

che uno evento specifico abbia successo su n possibilità

combino opzioni in cui uno per uno hanno successo, semplice moltiplicazione

solo un elemento ha successo

probabilità condizionata

Funzione densità e ripartizione

Eventi in un arco di tempo (Poiss)

Probabilità che nella prima ora/minuti arrivano almeno x cose

Uso distribuzione X sostituendo i valori. Lo faccio per tutti i valori di x (può essere 0 oppure un numero positivo, in quel caso devo farlo per tutti i numeri fino a quello positivo)

Probabilità tempo d'attesa x per far accadere la prima cosa

Guardo tabella e grafico e faccio lo stesso lavoro di prima.

Media campionaria

Probabilità che differisca più di x dal valore atteso teorico

incognito

Teorema limite centrale per n>30, la distribuzione è Gaussiana

uso tabelle per calcolare probabilità in modo appropriato

Test Ipotesi

Con livello di significatività alpha

guardo su tabella regione di riufiuto. Se valori sono dentro, rifiuto ipotesi H0 e confermo nuova ipotesi H1, altrimenti il contrario

Definizioni

H0: ipotesi nulla, quella che crediamo vera prima del test

H1: ipotesi alternativa: quella che vorremmo trarre dal test

Errori, tipologie

Tipo 1: rifiuto H0 quando è vera

Tipo 2: non rifiuto H0 quando H1 è vera

Potenza notevole: 1-p(tipoII). complementare del tipo 2

Condizionata

Trovare una combinazione che non so

Scrivo bene i dati e cerco tra il formulario delle formule che mi possono servire tra:

Probabilità condizionata

Regola Additiva

Probabilità totale

Teorema Bayes

Probabilità che variabile aleatoria assuma valori in intorno di raggio x del suo valor medio

Calcolo valor atteso con formule. Probabilità di X-E[X]<intorno e integro come nel formulario per trovare densità

Intervallo di confidenza

Per la media

Per proporzione

Per differenza fra due medie

Per differenza fra due proporzioni

Per scarto quadratico medio

Rapporto fra due varianze

Svolgo con manipolazioni algebriche generiche

questo lo faccio se il numero di campioni mi è impossibile da trovare nelle tavole statistiche. Quindi lo calcolo con la formula di Poisson che trovo nelle tavole

funzione con parametro incognito sia funzione di densità

condizioni f(x) che sia >= 0

uguaglio a 1 l'integrale considerato

Distribuzioni Note

Discrete

Continue

BINOMIALE

POISSON

Uniforme

Gamma

ESPONENZIALE

NORMALE

Normal Standard

Descrive il numero di successi in n tentativi indipendenti, ciascuno con una probabilità di successo costante p

Esprime le probabilità per il numero di eventi che si verificano successivamente e indipendentemente in un dato intervallo di tempo, conoscendo il tasso medio di eventi λ

Assegna la stessa probabilità a ciascun possibile risultato all'interno di un intervallo finito.

Modella il tempo di attesa fino al verificarsi di un certo numero di eventi indipendenti ed identicamente distribuiti.

Esprime il tempo di attesa tra eventi di un processo di Poisson, dove gli eventi avvengono in maniera continua e indipendente.

Distribuzione con forma a campana simmetrica, completamente descritta dalla sua media e deviazione standard.

È una distribuzione normale con media zero e deviazione standard uno.

QUANDO si usa?

Usata quando si contano i successi in un numero finito di tentativi, come nel caso di lanci di una moneta o nel conteggio di successi in esperimenti di prova.

Utilizzata quando si modellano eventi rari ma conosciuti su un intervallo di tempo o spazio, come il numero di chiamate ricevute da un call center in un'ora.

Utilizzata quando si ha un insieme finito o un intervallo di valori equiprobabili, come nel caso di estrazioni casuali senza preferenze.

Usata per modellare tempi di attesa o durate di eventi, come nel tempo di decadimento radioattivo o nel tempo di arrivo di flussi di denaro.

Utilizzata per modellare i tempi di attesa tra gli arrivi di pacchetti di rete, clienti in coda o fallimenti di componenti elettronici.

Utilizzata per modellare fenomeni naturali come altezze, pesi, punteggi di test standardizzati e errori di misura.

Usata per semplificare i calcoli e confrontare distribuzioni normali con diversi parametri, trasformando variabili casuali normali in una scala comune.

APPROSSIMABILE con ?

POISSON

Quando il numero di tentativi (n) è grande e la probabilità di successo (p) è molto piccola

p < 0.1

n > 50

esperimenti con un grande numero di tentativi e una bassa probabilità di successo

Ricorda: np ≈ λ

NORMALE

Quando il numero di tentativi (n) è grande e sia np che n(1-p) sono grandi

np > 5

n(1-p) > 5

APPROSSIMABILE con?

NORMALE

n grande

p vicino a 0,5

NECESSARIA: Correzione di continuità

Quando il parametro λ della distribuzione di Poisson è grande

λ > 10

NECESSARIA: Correzione di continuità

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schema finale? si spera

Probabilità

Funzioni densità e ripartizione

Probabilità con distribuzioni note (tavole)

Medie, varianze con distrubuzioni note

Intervalli di confidenza

Test d'ipotesi

dimostra ordinamento ottimale vittoria

scrivo la probabilità della vittoria

confermo per assurdo che le probabilità siano quelle date dal testo

risultato conferma l'ipotesi delle probabilità, quindi pposso dire che l'ordine è irrilevante ma devo incontrare il più scarso alla seconda partita

probabilità che un solo evento si verifichi
e probabilità che uno solo preciso si verifichi

Probabilità totale di tutti gli eventi in cui nessun evento si verifica tranne uno

Calcolando la complementare delle probabilità posso risolvere probabilità totale

nel caso dell'evento preciso è probabilità condizionata che avvenga quell'evento rispetto alla probabilità totale. Quindi intersezione con il totale fratto il totale

comunicare probabilità che parte dei test fatti abbiano esito positivo e che il campione rifletta il test

conosco gli effetti (test e ispezione) ma non le cause

Bayes

probabilità di errore in un evento

probabilità condizionata

manipolazioni della probabilità totale

avendo probabilità condizionata, calcolare probabilità degli eventi singoli

inversa probabilità condizionata

incognita in intervallo che rende funzione di densità

calcolo valore atteso

funzione di ripartizione

condizioni

f(x) >= 0

integrale indefinito f(x)dx = 1

se condizioni vere ricavo a

attenzione che i valori rientrino nell'intervallo

Parametri distribuzione caso discreto/continuo pagina B-3

mu = E(X) quindi calcolo mu

integrale indefinito di f(t)dt

quindi riassumo in un sistema tutti i valori per tutti gli intervalli

data densità variabile aleatoria, trovare valori x per cui P(X<>=x) = y, dove y è dato dal testo

integrale indefinito con risultato y noto

ricavo x

data densità calcola probabilità che variabile aleatoria assuma intorno di raggio x del suo valor medio

valor medio è integrale indefinito della funzione

scrivo la probabilità in modo che X sia compresa nei 2 valori +- raggio

integrale della funzione nel nuovo intevallo

data probabilità errore, determinare che x eventi abbiano errore

probabilità successi eventi indipendenti

distribuzione Binomiale

se n grande (>50) e p piccolo (<0.1)

Poisson

vita media due componenti, determinare probabilità che non duri più di x giorni. Segue legge Poisson

Distribuzione Poisson: modella eventi rari indipendenti nel tempo (num errori in unità tempo)

scelgo esponenziale perchè probabilità di tempo

Distribuzione Esponenziale: modella tempo tra eventi rari indipendenti (tempo prima di errore)

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ricavo probabilità con integrale da 0 ai giorni x dati

dato campione, distribuzione Normale N(x,y), determinare legge variabile aleatoria sapendo che Xi <= 0

Caratteristica fisica, modello normale

Gaussiana

cerco la legge

Gamma? da appello di Febbraio

dimostro ordine di incontro ottimale

calcolo probabilità di vincere contro x, poi la calcolo per y e z e dimostro che è indifferente

se conosco effetti ma non le cause

teorema di Bayes, le incognite diventano le probabilità condizionate

considero tutte cause di un errore

probabilità totale

Data una funzione con intervallo che ha un incognita

Determina valore dell'incognita che rende la funzione una funzione di densità

Applico condizioni

f(x)>=0

Ricava funzione di ripartizione

è la cumulativa, che indica la distribuzione di un evento in un intervallo di tempo

la calcolo integrando

Produco un siistema finale che mi riassuma i valori ricavati in base agli intervalli di x

Calcolo valor atteso (medio)

ovvero che la cumulativa sull'intervallo deve avere area = 1

Data la probabilità nota che assume x in P(X<=x), calcolare quanto vale x

Uguaglio funzione di ripartizione con il valore noto

Probabilità con distribuzioni note
(uso tavole)

probabilità di n successi indipendenti

binomiale

se n>50 e p<0.1

posso approssimare con Poisson

oppure con valori nelle tabelle

oppure con le tavole

probabilità che si verifichino x eventi in un unità di tempo

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uso distribuzione normale standardizzata nelle tabelle per trovale prob.

standardizzo variabile X

50 eventi indipendenti

x<=0

probabilità di successi

binomiale

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se n>=50 e p<=0.1

approssimabile con Poisson

trovo p successi in n eventi

VA distribuita da legge normale, con media e varianza note
probabilità che venga un evento

normale std

evento segue poisson, qual'è probabilità che scorra fino a un minuto sapendo che sono già avvenuti x eventi?

Gamma
Eventi raggruppati in modo diverso nel tempo o tempo tra eventi sapendo che alcuni sono si sono già verificati

riconduco a Poisson per semplicità

Campione e deviazione std note, non conosciamo distribuzione

Calcolo probabilità che media campionaria differisca al più di x da valore atteso teorico icognito

Uso distribuzione media campionaria con varianza nota e popolazione incognita

Ricavo Z e approssimo alla normale standardizzata

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Si verifichi sia ragionevole assumere varianze di due popolazioni siano uguali con x livello di significatività

Intervallo confidenza per rapporto di due varianze

Calcolo intervallo confidenza

uso tabelle per valori F

Accetto o rifiuto hp

Due valori medi possono essere ritenuti uguali con x livello di significatività

Intervallo confidenza per differenza tra medie

Calcolo stima congiunta di S^2

Calcolo intervallo

Livello di significatività x, valuta se la media rientra nell'intervallo dichiarato con deviazione standard nota

Intervallo di confidenza per la media con varianza nota

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Determino plausibilità rendimento teorico con x intervallo confidenza
Distribuzione non nota

Se non nota generica segue normale

Se non segue specificatamente normale, allora è Chebishev

Legge normale, varianza campionaria nota, numero campioni noto, deviazione standard nota
Cambiamento rientri nel livello di confidenza x

Intervallo confidenza per varianza

Legge normale, campioni noti, varianza campionaria nota, intervallo confidenza della media noto
Con che confidenza ho ottenuto intervallo?

Intervallo per la media (varianza incognita)

isolo alpha, in modo da fare 1-alpha e ricavare grado fiducia

media nota, deviazione std nota, campione noto e i loro valori noti. Legge normale
Intervallo di confidenza su deviazione std

Intervallo sulla varianza

Calcolo varianza campionaria visto che ho campioni noti