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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE COTOPAXI*
NOMBRE: SUAREZ TOSCANO ITALO DANILO
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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE COTOPAXI*
NOMBRE: SUAREZ TOSCANO ITALO DANILO
CURSO: TERCERO "A" ING. EN ELECTRICIDAD
FECHA: 18 DE JULIO DEL 2023
TEMA: REALIZAR UN MAPA MENTAL DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
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Usamos el análisis de circuitos para obtener la ecuación diferencial que describe al circuito en términos de la variable de interés
Después de cerrarse el interruptor, para t≥0 la LVK impone:
La expresión para i(t) incluye un término de la forma exp(-Rt/L). El recíproco de este cociente es la constante de tiempo del circuito:
La corriente en un circuito RL después de un cambio inicial se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:
EJEMPLO C. RL NATURAL
Supongamos que tenemos un circuito RL con una bobina de 2 Henry (H) y una resistencia de 10 ohmios (Ω). En el circuito, la corriente inicial es cero (i(0) = 0 A) y no hay una fuente de voltaje aplicada. Determinar la respuesta natural de la corriente en el circuito.
i(t) es la corriente en el circuito en un tiempo dado t.
i(0) es la corriente inicial en el circuito en el momento t = 0.
K y s son constantes que debemos determinar
K es un termino de amplitud que escala la corriente hacia arriba o hacia abajo
.e es la base del logaritmo natural, aproximadamente 2.71828.
.
Para un circuito resistor-capacitor, donde el capacitor tiene un voltaje individual Vo, el voltaje disminuirá exponencialmente de acuerdo a la ecuación:
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el capacitor está inicialmente cargado, es posible suponer que en el momento t = 0 la tensión inicial es
Ésta es una ecuación diferencial de primer orden, ya que sólo implica la primera derivada de v. Para resolverla, el término se
reordena como
Ejemplo
Para la respuesta natural del circuito, sean
R= 3kΩ C=1µF y Vo= 1.4 v
EJEMPLO
El interruptor del circuito de la figura ha estado cerrado mucho tiempo.
En t = 0, el interruptor se abre. Calcule i(t) para t > 0.
Supóngase una tensión inicial en el capacitor, aunque esto no es necesario para la respuesta escalón. Como la tensión de un capacitor no puede cambiar instantáneamente
Donde v(0-) es la tensión para el capacitor justo antes de la conmutación y v(0+) es la tensión inmediatamente después de la conmutación. Al aplicar la
LCK se tiene o sea
EJEMPLO
El interruptor en la figura 7 ha estado mucho tiempo en la posición A. En t = 0 y se mueve a B. Determine v(t) para t > 0 y calcule su valor en y 4 s .
La respuesta natural de un circuito con un resistor, un inductor y un capacitor puede tomar tres formas diferentes, dependiendo de los valores específicos de sus componentes
La ecuación característica del circuito RLC es:
EJEMPLO
La respuesta natural del circuito RLCEl capacitor tiene un voltaje inicial de 10 voltios, No hay corriente que fluye en el inductor en el momento en que se cierra el interruptor.
Ejemplo
Sean R= 10 ohmios, L=1 H, y C=1/9F
Encuentre i(t)
ejemplo
Sean R= 4 ohmios, L=1 H, y C=1/4F
Sean las condiciones iniciales
Encuentre i(t)
EJEMPLO
Sean R= 2 ohmios, L= 1 H, y C=1/5F
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Para resolver esto, podemos utilizar la ecuación diferencial que describe la relación de voltaje en un circuito RL:
En este caso, como no hay una fuente de voltaje aplicada (V = 0), la ecuación diferencial se reduce a:
Simplificando la ecuación, tenemos:
Ahora, podemos resolver esta ecuación diferencial utilizando técnicas de cálculo. La solución general de la ecuación diferencial es:
Donde: K es una constante determinada por la condición inicial.
En nuestro caso, la corriente inicial es cero (i(0) = 0 A), por lo que podemos determinar el valor de A utilizando esta condición:
Por lo tanto, la solución particular para la respuesta natural de la corriente en el circuito RL es:
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GRÁFICA
con el correspondiente valor de la energía almacenada como
La aplicación de la LCK en el nodo superior del circuito
Por definición
o sea
Al integrar ambos miembros se obtiene
donde ln A es la constante de integración. Por lo tanto,
Al tomar las potencias de e se tiene
Pero desde las condiciones iniciales v(0)=A= V(0) por consecuencia
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La constante de tiempo de un circuito es el tiempo requerido para que la
respuesta disminuya en un factor de 1/e, o 36.8% de su valor inicia
Esto implica que t = Tao
Resolver esta ecuación arroja el siguiente resultado:
Cuando la energía inicial de la bobina es cero, Io=0, la ecuación anterior queda reducida a:
Indica que después de que el interruptor se ha cerrado, la corriente aumenta desde 0 hasta un valor final de Vs/R. Es decir, al principio el inductor actúa como un circuito abierto, y luego se estabiliza como un corto circuito.
En términos de la contante de tiempo:
La constante de tiempo del circuito determina la velocidad de crecimiento. Una constante de tiempo después de que se ha cerrado el interruptor, la corriente habrá alcanzado aproximadamente el 63% de su valor final:
Gráfica
donde v es la tensión a lo largo del capacitor. Para t>0
Reestructurando los términos se tiene o sea
Al integrar ambos miembros e introducir las condiciones iniciales
Al aplicar la función exponencial a ambos miembros se tiene
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Para el interruptor está en la posición A. El capacitor actúa como un circuito abierto en cd, pero v es igual que la tensión a lo largo del resistor de 5 k.ohomios. Así, la tensión del capacitor justo antes de se obtiene por división de tensión como
Para t>0, el interruptor está en la posición B. La resistencia de Thevenin
conectada al capacitor es 4 kilo ohmios y la constante de tiempo es
Dado que el capacitor actúa como un circuito abierto en cd en estado estable,v(infinito)
Por consiguiente,
en t=1
en t=4
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Cuando t < 0, el interruptor está cerrado, y el inductor actúa como cortocircuito para la cd. El resistor de 16 ohmios se pone en cortocircuito; Para obtener i1 en esta última figura, se combinan los resistores de 4 y 12 ohomios en paralelo para obtener
Se obtiene i(t) de i1 en la figura aplicando la división de corriente, y
se escribe
Dado que la corriente a través del inductor no puede cambiar instantáneamente,
Cuando t > 0, el interruptor está abierto y la fuente de tensión sedesconecta. Ahora se tiene el circuito RL sin fuente de la figura Al combinar los resistores se tiene
La constante de tiempo es
En consecuencia,
Vamos a encontrar las raíces de la ecuación característica mediante el uso de la fórmula cuadrática:
Al sustituir las variables alpha, omega(0), podemos escribir s de una manera mas sencilla: donde
Alpha se llama factor de amortiguamiento,
w(o) es la frecuencia de resonancia
Dependiendo del tamaño relativo de α y de w(o) habrá tres formas diferentes para la solución para i(t)
Sobreamortiguado, α>w(o) conduce a la suma de dos exponenciales decrecientes.
Críticamente amortiguado, α=w(o) no da t multiplicado por una exponencial decreciente.
Subamortiguado, α<w(o) conduce a un seno decreciente.
Modelar y resolver el circuito
Esa ecuación se ve así:
La corriente será la superposición de dos exponenciales reales que decrecen hacia cero.
La ecuación diferencial para el circuito RLC es
Con los valores de los componentes reales se vuelve:
Como siempre lo hacemos, suponemos una solución de la forma:
Llevamos a cabo el análisis que hicimos arriba, que resulta en esta ecuación característica:
Encontramos las raíces de la ecuación característica con la fórmula cuadrática:
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Con los valores de los componentes reales:
Al encontrar las raíces de la ecuación característica obtuvimos dos respuestas posibles para sde modo que la solución propuesta para i hora está escrita como la superposición de dos términos exponenciales diferentes:
factorizar el término común
La corriente será la superposición de dos exponenciales reales que decrecen hacia cero Se dice que el circuito está sobreamortiguado porque las dos exponenciales superpuestas están llevando la corriente a cero. Un circuito estará sobreamortiguado si la resistencia es alta en relación a la frecuencia de resonancia.
Calcula el factor de amortiguamiento y la frecuencia de resonancia:
Encuentra las raíces (reales negativas) de la ecuación característica:
Arma una solución propuesta:
Usa las dos condiciones iniciales (igual que en el ejercicio que resolvimos anteriormente):
Escribe las expresiones para K1, K2 en t=(0). Al usar la primera condición inicial:
Ahora tomamos la derivada de la corriente propuesta y usamos la segunda condición inicial:
Ahora resolvemos las dos ecuaciones de las condiciones iniciales juntas. De la primera condición inicial:
Al sustituirla en la segunda condición inicial:
Y la solución para la corriente es:
GRAFICA
Resolver una ecuación diferencial de 2do orden con raíces repetidas es un poco complicado. No voy a hacer la deducción aquí, pero en lugar de eso te voy a referir a un video que trata acerca de resolver las raíces repetidas. Bienvenido de vuelta... Con las raíces repetidas, la respuesta es una exponencial
La ecuación diferencial que modela al circuito es
la cual conduce a la ecuación característica correspondiente
Podemos factorizar esto directamente (sin necesidad de usar la fórmula cuadrática)
lo que nos da las raíces reales repetidas
Con raíces reales repetidas la solución es
GRAFICA
La corriente se ve como una onda de seno que disminuye a través del tiempo. Para los circuitos eléctricos de segundo orden, pedimos prestado el término y decimos que un sistema subamortiguado "resuena" a una frecuencia de aproximadamente
Si dejamos que la resistencia se haga muy pequeña y eventualmente se vaya a 0, entonces se va a cero y
se vuelve
El factor de amortiguamiento de es
La frecuencia de resonancia, , es
número negativo, el cual vimos que conduce a una solución de un seno decreciente. Por lo tanto, describiríamos el circuito de ejemplo como un sistema subamortiguado.