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Soustraction, Addition, Distributivité, Géométrie, Multiplication,…
Soustraction
Propriétés
Si a = b alors a - b = 0
La soustraction N'EST PAS commutative
a - b différent b - a
La soustraction N'EST PAS associative
(a - b) - c différent a - (b - c)
Les parenthèses sont donc importantes lorsqu'il y a des soustractions et on ne peut pas les supprimer sans précaution.
Cependant, pour faciliter l'écriture, on a décidé de la convention suivante : en l'absence de parenthèses, on effectue le calcul dans le sens de lecture. Il en va de même lorsqu'un calcul comporte des additions.
Définition
Étant donné deux nombres décimaux a et b, on cherche le nombre décimal n qu'il faut ajouter à b pour obtenir a :
b + n = a.
Ce nombre n'existe, dans l'ensemble des nombres décimaux positifs, que si a est supérieur ou égale à b et se note a - b.
Poser une soustraction
Poser la soustraction virgule sous virgule.
Commencer l'opération par la colonne de droite et ne pas oublier les retenues.
Attention aux soustractions dont le premier terme a moins de décimales que le second.
Dans ce cas; il est prudent de rajouter des zéros afin que les deux termes aient le même nombres de décimales.
Soustraction de nombres relatifs
Pour soustraire un nombre, on ajoute son opposé
Addition
Addition de nombres relatifs
Si les deux nombres ont le même signe :
On additionne leur distance à zéro.
On donne au résultat obtenu le signe commun aux deux nombres
Si les deux nombres sont de signes contraires
On soustrait la plus grande distance à zéro par la plus petite.
On donne au résultat obtenu le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
Somme de plusieurs décimaux relatifs
Soit faire les calculs dans l'ordre où ils s présentent, ce qui revient finalement à additionner les nombres deux par deux et donc à appliquer un certain nombre de fois les règles précédentes.
Soit regrouper les nombres positifs, d'une part, et donc les nombres négatifs d'autre part. On va donc d'abord faire des additions, puis on terminera par une différence.
Soit faire des regroupements intéressants en repérant, par exemple, les nombres opposés dont la somme à la bonne idée d'être égale à zéro. On peut aussi repérer, avec un peu d'habitude, les nombres dont la somme est facile à calculer.
Nombres opposés
Deux nombres sont opposés si leur somme est égale à zéro. Ils ont la même valeur absolue mais pas n'ont pas le même signe.
Propriétés
Commutativité : a + b = b + a
Associativité : (a + b) + c = a + (b + c)
Élément neutre : a + 0 = 0 + a = a
Définition
Le résultat d'une addition est une somme de termes
Poser une addition
Poser l'addition virgule sous virgule.
Commencer l'opération par la colonne de droite.
Pratiquement, chaque fois que le résultat dépasse 10 dans une colonne, écrire un petit"1" dans la colonne précédente.
Addition de fractions
Distributivité
Distributivité double
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc+ bd
(a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd
(a - b)(c - d) = ac - ad -bc +bd
Identités remarquables
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²
Distributivité simple
a(b + c) = ab + bc
a(b - c) = ab - ac
Developper
Développer , c'est transformer un produit en une somme.
On "passe" d'une écriture avec parenthèses à une écriture sans parenthèses.
Factoriser
Factoriser, c'est transformer une somme en un produit.
On "passe d'une écriture sans parenthèses à une écriture avec parenthèses.
On met en évidence un facteur commun aux termes de la somme.
Géométrie
Définition
Plan
Surface plane à deux dimensions qui s'étend indéfiniment. Un plan est constitué d'une infinité de points.
Points
On peut marquer des "points" avec la pointe de son crayon, ou avec une croix. Avec une règle, on peut tracer une ligne droite ou vérifier l'alignement de certains ensemble de points.
Droite
Dans un plan, il arrive que des points soient alignés les uns avec les autres, l'ensemble qu'ils forment porte le nom de ligne droite. Étant donné deux points A et B, il existe une et une seule droite contenant ces deux points, cette droite est notée (AB). Une droite contient une infinité de points et peut avoir une infinité de noms.
Segment
L'ensemble des points de la droite (AB) situés entre A et B est appelé segment, il est noté [AB]. [AB] et [BA] représentent le même segment
Bipoint
Le couple (A,B) s'appelle un bipoint, ici A est l'origine et B l'extrémité.
Demi-droite
Si O est un point d'une droite, ce point partage la droite en deux parties. L'ensemble des points qui sont d'un même côté de O s'appelle une demi-droite. La demi-droite d'origine O et contenant A est notée [OA).
Quadrilatère
Définition
Un ensemble de quatre points A, B, C et D distincts non alignés trois à trois, définit :
6 droites
6 segments
L'ensemble des 6 segments n'a pas reçu de nom.
Conventionnellement, on appelle quadrilatère, et on note simplement ABCD, l'ensemble des quatre segments [AB], [BC], [CD] et [DA], formant une ligne brisée fermée.
C'est segments sont appelés côtés du quadrilatère.
Les points A, B, C, et D sont appelés les sommets du quadrilatère ABCD.
Les 2 autres segments [AC] et [BD] sont des diagonales du quadrilatère
Polygones
Définition
Un polygone est une figure ayant plusieurs (poly en grec) angles (gônian en grec). C'est une suite de segments appelés côtés du polygone, ayant deux à deux une extrémité commune ; donc l'extrémité du dernier est l'origine du premier. Tout segment joignant deux sommets et n'étant pas un côté est une diagonale du polygone. L'angle formé par deux côtés "adjacents" est un angle du polygone.
Triangle, quadrilatère, pentagone, hexagone, heptagone, octogone, nonagone, decagone, ennéagone, dodécagone
Triangle
Conventionnellement, on appelle triangle, et on note simplement ABC, l'ensemble des 3 segments [AB], [BC] et [CA].
Ces 3 segments sont appelés les côtés du triangle.
Les 3 points A, B et C sont appelés les sommets du triangle.
3 angles A, B et C
3 segments [AB], [BC] et [CA]
3 droites (AB), (BC) et (CA)
Un ensemble de trois points A, B, C distincts non alignés définit :
Multiplication
Propriétés
Associativité : (a x b) x c =a x (b x c)
Élément neutre : a x 1 = 1 x a = a
Commutativité : a x b = b x a
Élément absorbant : a x 0 = 0 x a = 0
Distributivité sur l'addition :
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
Définition
Le résultat d'une multiplication est un produit de facteurs.
Poser une multiplication
Faire d'abord la multiplication sans tenir compte des virgules : le résultat obtenu est un entier naturel.
Faire la somme du nombre de décimales de chacun des facteurs : cette somme est le nombres de décimales du produit
Placer la virgule dans l'écriture du résultat
Conseils :
Supprimer les zéros inutiles avant de poser une multiplication.
Mettre à la première ligne le nombre qui a plus de chiffres.
Division
Poser une division
Définition : dividende, diviseur, quotient, reste
Technique avec un diviseur à un chiffre.
Technique avec un diviseur à plusieurs chiffres.
Technique avec un diviseur décimal non entier.
Technique division euclidienne
Définition
Étant donné deux nombres décimaux a et b, on cherche un nombre n par lequel il faut multiplier b pour obtenir a : b x n = a.
Ce nombre n'existe que si b n'est pas nul et, dans ce cas, un seul nombre répond à la question :
n = a / b
Priorités
Notations allégées
a x b = a.b = ab
c x 7 = 7c
c x (a + b) = c(a + b)
(a + b) x (c + d) = (a + b)(c + d)
Ordre des opérations
Si, dans une suite d'opérations, il n'y a que des additions ou que des multiplications, on peut faire les calculs dans n'importe quel ordre, le résultat est le même.
S'il y a des parenthèses dans une suite de calculs, on doit effectuer d'abord les calculs entre parenthèses en commençant par les parenthèses les plus "intérieures".
Si, dans une suite de calculs sans parenthèses, il n'y a que des additions et soustractions, on fait les opérations l'une après l'autre (une à la fois) dans le sens de lecture (de gauche à droite).
Dans une suite de calculs sans parenthèses, les multiplications et les divisions s'effectuent AVANT les additions et soustractions.