MATEMATICA DI UN'EPIDEMIA: IL MODELLO SIR E LA DIFFUSIONE DI UN CONTAGIO
Si parla di epidemia quando il numero di casi di una malattia aumenta rapidamente
La sua dinamica
Dipende da fattori complessi ma è descrivibile con modelli matematici
Cioè
Una descrizione quantitativa di un processo che consente di prevederne l'evoluzione
R0 o numero riproduttivo di base
Indica il numero di contagi causati da un infetto
Se \(R_0<1\) l'epidemia non ha luogo
Se \(R_0=1\) si ha circolazione stabile del virus
Se \(R_0>1\) si sviluppa un'epidemia
Nel primo periodo
Il modello più efficace è quello esponenziale \(y=R_0^x\)
In cui
All'aumentare di \(R_0\) aumenta la velocità di crescita della curva
Tuttavia
Il modello risulta irrealistico all'avanzare dell'epidemia perché prevede crescita fino a colpire l'intera popolazione
Invece
Popolazione e sistema sanitario adotterebbero misure di protezione e prevenzione cambiando il percorso del virus
Il modello logistico
Descrive più fedelmente l'evoluzione di una epidemia
Si ha
Un progressivo rallentamento in cui \(R_0\) si avvicina ad 1
Fino a
Un punto di flesso dal quale la curva riduce la propria pendenza fino ad assestarsi intorno a una posizione asintotica
I suoi limiti
Sono non prevedere né regressioni né nuove crescite esponenziali
Il modello SIR (suscettibili, infetti, rimossi)
È il più semplice ma anche il più efficace
È basato sulle ipotesi che
La popolazione sia composta da N individui divisi in
Infetti che possono diffondere il virus
Rimossi che sono immuni dal virus o isolati dagli altri
Suscettibili che possono contrarre il virus
La somma di S+I+R sia costante e pari ad N
La probabilità di infezione sia uguale per tutti
Il contagio avvenga per contatto diretto tra S ed I
Considerando
Il numero di contagi dipenda dal numero di incontri tra S ed I secondo la legge \(contagi=a*S*I*\Delta t\)
\(\Delta t\) è il tempo
a dipende dalla contagiosità del virus e dal numero di contatti
Il numero di rimossi dipenda dal numero degli infetti secondo la legge \(R=b*I*\Delta t\)
b è l'efficienza del sistema sanitario
Due istanti di tempo \(t_k\) e \(t_{k+1}\) nell'intervallo di tempo \(\Delta t\)
I suscettibili diminuiscono perchè alcuni vengono contagiati
\(S_{k+1}=S_k-a*S_k*I_k*\Delta t \)
Gli infetti aumentano per i contagi e diminuiscono per le rimozioni
\(I_{k+1}=I_{k}+a*S_k*I_k*\Delta t - b*I_k* \Delta t\)
I rimossi aumentano
\(R_{k+1}=R_k+b*I_k*\Delta t \)
Se \(I_{k+1}>I_k\)
L'epidemia si sviluppa nel tempo
In tal caso abbiamo
\(\frac{a}{b}S_k>1\) ma poiché I ed R sono piccoli rispetto al totale possiamo dire \(S_k\cong N\) e quindi \(\frac{a}{b}N>1\)
In cui
\(\frac{a}{b}N=R_0\) cioè il parametro riproduttivo di base
Se
Il sistema sanitario è efficiente le misure in atto riducono il fattore a e aumentano il fattore b
Il modello SIR
Evidenzia 3 fasi nello sviluppo di un'epidemia
Esponenziale
Picco della malattia
Arresto dei contagi
Ci sono
Modelli più sofisticati che considerano fattori come nascite, morti, età, misure per contenere la diffusione della malattia