Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Matrices y Sistemas Lineales - Coggle Diagram
Matrices y Sistemas Lineales
Matrices
Una matriz
A_(m x n)
es una colección de números (elementos) ordenados en filas y colummnas:
La dimensión de A es
(m x n)
donde
m
representa el número de filas, y
n
el número de columnas
Si
m = n
, se dice que A es cuadrada y que "n" es el orden (dimensión). Por otro lado si
m ≠ n
se dice que A es rectangular
La tanspuesta de una matriz
A
es la matriz
A^(T)
que se obtiene al intercambiar las filas y columnas de
A
; si la dimensión de
A
es (
m x n
), la de
A^(T)
es (
n x m
)
Clasificación por su Forma
Matriz diagona
l; todos los elementos fuera de la diagonal proncipal son 0.
Matriz identidad
; de orden
n
es la matriz diagonal en la que
a_11 = a_22 = ... = a_nm = 1
Matriz tirangular superior
; ocurre cuando todos los elementos por debajo de la diagonal principal son 0.
Matriz triangular inferior
; ocurre cuando todos los elementos por encima de la diagonal superior son 0.
Matriz nula
; de dimensión
m x n
cuyos elementod son, todos ellos nulos
Matriz fila
; matriz de dimensión
1 x n
.
Matriz columna
; matriz de dimensión
m x 1
Opuesta de una matriz
A
; que se representa como
-A
, matriz que se obtiene a partir de
A
cambiando el signo de todos sus elementos.
Matriz simétrica
; si
A^(T)
=
A
. Los elementos de una matriz simétrica situados a ambos lados de la diagonal principal, son iguales.
Matriz anti-simétrica
o
hemisimétrica
si
A^(T)
=
-A
. Los elementos de la diagonal principal son opuestos, y los elementos de la diagonal proncipal son nulos.
Operaciones con matrices
Suma
propiedades
Conmutativa:
A
+
B
=
B
+
A
Asociativa:
A
+ (
B
+
C
) = (
A
+
B
) +
C
Elemento neutro
: para toda matriz
A
existe una matrix 0 (
el elemento neutro de la suma
), tal que
A
+ 0 = 0 +
A
=
A
. El elemento neutro es la matriz nula de la misma dimensión que
A
Elemento inverso:
para toda matriz
A
existe otra matriz, la opuesta de
A
,
-A
, ta que
A
+ (
-A
) = (
-A
) + A = 0 (elemento neutro).
Multiplicación
Propiedades
En general,
no es conmutativo
; por lo tanto, en general
A
x
B
≠
B
x
A
(de hecho ni siquiera está garantizado que si
A
x
B
existe,
B
x
A
exista también).
1 more item...
División
No está definida una división como tal en lugar de eso se utiliza la
inversa de una matriz
Dada una matriz cuadrada
A
, la
inversa de
A
, si existe, es la matriz
A
^(
-1
) que cumple:
A
x
A
^(
-1
) =
A
^(
-1
) x
A
=
I
1 more item...
Metodo de eliminación Gauss
Permutar dos filas (resp. columnas)
Multiplicar una fila (resp. columna) por un número.
Sumar dos filas (resp. columnas)
Aplicaciones de la triangulación de Gauss
Matriz inversa
Rango de una matriz
Sistemas Lineales
conjunto de ecuaciones del tipo
donde los
x_i's
son las
incógnitas
, los
a_ij's
son los
coeficientes
, y los
b_j's
son los
términos independientes
Matriz de coeficientes
Matriz ampliada
Determinantes
Las determinantes se constriyeron como artefactos que permiten predecir la existencia de combinaciones lineales entre filas o columnas, lo cuál sucede cuando se anulan.
Los determinantes se definan de forma recursiva: primero se define el determinante de una matriz de orden 2; a partir de ahñi se define el determinante de una matriz de orden 3; a partir de éste el de una matriz de orden 4, etc. Si
A
es 2 x 2, entonces [
A
] se define del siguiente modo:
