Cálculo Diferencial e Integral II
as primitivas de uma função f(x) sempre estão definidas em algum intervalo
Teorema. Se F é uma primitiva de f em um intervalo I, então F(x)+C é uma primitiva geral
de f em I, em que C é uma constante arbitrária.
Integral Indefinida
Se F(x) é uma primitiva de f(x), então a expressão F(x)+C é chamada de integral
indefinida da função f(x) e é denotada por ∫f(x)dx = F(x)+C.
Integrais imediatas
Tabelas de integrais
Integração por substituição
Processo é o “inverso” da regra da cadeia
para derivação.
Passos:
1) Em ∫ f(g(x)).g ’(x) dx substitua u = g(x) e du = g ’(x) dx para obter a integral ∫ f(u) du
2) Integre em relação a u
3) Substitua u por g(x) no resultado
Integração por partes
∫ u dv = u.v - ∫ v du
Cada regra de derivação tem outra correspondente de integração. Por exemplo, a regra de substituição para integração corresponde à regra da cadeia para a derivação.
Aquela que corresponde à regra do produto para a derivação é chamada integração por partes
Aproximando áreas
Soma de Riemann
Integral definida
A integral definida nada mais é que a área da região sob o gráfico de f de a até b
Teorema fundamental do Cálculo
estabelece uma relação entre o cálculo diferencial e o cálculo integral.
Quando relacionamos ambos os processos (derivação e integração), podemos calcular integrais a partir da primitiva da função integranda, ao invés da determinação dos limites
das somas de Riemann
Integrais definidas por substituição
Um dos métodos consiste em encontrar por substituição a integral indefinida correspondente e usar uma das primitivas para calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo
O outro método é a alteração dos limites de
integração ao mudar a variável
Integrais Trigonométrica
identidades trigonométricas para a solução de problemas que envolvam a integração de potências de seno e cosseno, integração de produtos de seno e cosseno, integrais de funções envolvendo seno e cosseno de arcos diferentes, integração de potências de tangente e de secante e integração de produtos de tangente e de secante.
Integração de funções racionais por frações parciais
é possível expressar uma integral de uma função racional como uma soma de frações mais simples de serem integradas, as chamadas frações parciais.
Se p(x) é um polinômio com coeficientes reais, então pode ser expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais.
Integrais impróprias
Integrais impróprias são aquelas com limites de integração infinitos
Área entre curvas e volumes
Considerando duas funções f(x) e g(x) definidas no intervalo [a,b], então a área entre ambas funções é dada pela diferença da área abaixo do gráfico da f(x) e o gráfico da área da g(x)