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minimi quadrati - Coggle Diagram
minimi quadrati
Premessa
Data A matrice composta da \(V_i\) vettori
- Il sottospazio V è un immagine di A
- Il sottospazio ortogonale \(V^{\perp}\) è il nucleo della matrice trasposta di A
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Dato V spazio vettoriale e una sua baseSappiamo che
- l'insieme degli attributi è dato dalla legge di combinazione \(\oplus\) tra lo spazio e il suo ortogonale.
- ricordiamo che la somma della della cardinalità dello spazio e del suo ortogonale, ha come risultato la dimensione dell'insieme considerato.
Concludiamo che
- l'insieme considerato è la somma esclusiva tra l'immagine della matrice e il nucleo della trasposta
- la cardinalità dell'insieme considerato è la dimensione dell'immagine di A è la dimensione del nucleo della trasposta
Vettore residuo
Sistema lineare di m equazioni in n incognite.
Per vettore residuo s'intende il vettore dato dall'equazione
\(r(x) = b-Ax\)
x è soluzione del sistema solo il vettore residuo e la sua relativa norma sono nulli.
Equazioni a disposizione maggiore delle incognite? Sistema sovradimensionato
\(\Downarrow\)
\(rank(A) \neq rank([A,b])\implies \) sistema non compatibile
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indice di determinazione
norma misura l'indice di adattamento del polinomio.
Quanto più piccola è la norma del residuo, meglio il polinomio si adatterà ai dati.
per misurare la bontà di adattamento, però sarebbe meglio usare l'indice di adattamento, che esprime la misura in percentuale.
DEVIANZA DI X\(dev(x) = \sum_{i=0}^0 (x_i - \overline{x})^2\)
- Poniamo A matrice dello spazio vettoriale di rango n+1
- Poniamo b vettore delle ordinate dei dati
- Poniamo \(b^* = Ax^*\) vettore le cui componenti sono i valori del polinomio nei nodi
Se poniamo \(e = [1,1,\dots]^T varrano le proprietà:
- \(e^T r(x^*)=0\)
- \(\overline{y} = \overline{y}^* \)
- \(\overline{y} = \frac{1}{m+1} \sum_{i=0}^m y_i\) media valori reali
- \(\overline{y} = \frac{1}{m+1} \sum_{i=0}^m b_i^* = \frac{1}{m+1} \sum_{i=0}^m p^*_n (x_i)\) media valori teorici
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PROPOSIZIONE
La devianza del vettore delle ordinate dei dati è riscrivibile come la somma delle componenti indipendenti della variabilità intrinseca al modello e quella residuale
\(dev(b) = dev(b^*) + dev\left(r(x^*)\right)\)
Rapporto tra devianza del polinomio di migliore approssimazione e quella totale si chiama indice di determinazione
\(R^2 = \frac{dev(b^*)}{dev(b)} = 1 - \frac{dev(r(x^*))}{dev(b)}\)
si deducono le proprietà:
- \( 0 \le R^2 \le 1\), cioè R esprime la bontà d'adattamento del modello rispetto i dati empirici
- \(R^2 = 1 - \frac{||r||^2_2}{dev(y)}\) , relazione tra indice e norma 2 del residuo
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