Interpolazione

Interpolazione mediante un polinomio

PROBLEMA
n+1 punti su piano cartesiano; determinare polinomio $p_n (x)$ , di grado al più n, il cui grafico passi per i punti

$p_n (x_i)=y_i, i=0,\dots,n)$

ascissa $x_i$ distinte, il polinomio che verifica $p_n$ esiste ed è unico

$p_n (x)$ = polinomio interpolante

condizioni $\begin{cases} p_n(x_i) = y_i \\ i = 0, \dots,n \end{cases}$

$x_i$ = nodi

PROPOSIZIONE
$(x_i.y_i) \in \mathbb{R}^2$; nodi distinti

Esiste ed è unico polinomio $p_n(x)$ di grado al più n che soddisfa condizioni interpolazioni

DIMOSTRAZIONE

definiamo polinomio di grado al più lungo la base delle potenze:

$p_n(x) = a_0 + \dots + a_n x^n$

imponiamo condizioni interpolazione

Sistema lineare di n+1 equazioni in n+1 incognite.

La matrice risulterà

(Matrice di VanderMonde)

Il determinante di una simile matrice sarà uguale a

$det(v) = \prod_{i>j}(x_i-x_j)$

Dato che il determinante non è nullo, allora il sistema lineare avrò una sola soluzione.

malcondizionata anche per valori non grandi di n

si scrive il polinomio lungo una base diversa da quella della potenza

Base di Lagrange

Base di Newton

nodi distinti nell'intervallo $[a,b]: x_0,x_1,\dots,x_n$.
Si definisce k-esimo polinomio cardinale di Lagrange, il polinomio che rispetta l'equazione

$ L_k (x) = \prod_{i = 0}^n \frac{x - x_i}{x_k- x_i}$

PROPOSIZIONE

$L_k(x)_{k= 0 ,\dots,n}$ linearmente indipendenti , nel senso che vengono visto come elementi spazio vettoriale $\prod_n$

DIMOSTRAZIONE
combinazione lineare nulla $\sum_{k=0}^n \alpha_k L_k(x) = 0, \forall x \in [a,b]$, che soddisfa la proprietà $ L_k(x_i) = \begin{cases} 0 && i \neq k \\ 1 && i = k \end{cases}$

Dimostriamo che $\alpha_n =0 $.

Ricordiamo il simbolo di Kronecker $ \delta_{ik} = \begin{cases} 0 && i \neq k \\ 1 && i = k \end{cases}\implies L_k = \delta{ik}$

Valutiamo la combinazione lineare nel nodo $x = x_i$

$0 = \sum_{k=0}^n \alpha_k L_k(x_i) = \sum_{k=0}^n \alpha _k \delta_{ik} = \alpha_i \delta{ii} = \alpha_i$

Dato che $dim(\prod_n = n+1\implies $ gli elementi della base $L_k$ formano un a base di $\prod_n$

Polinomio interpolante di Lagrange

generico polinomio $p_n \in \prod_n$ = combinazione lineare degli elementi di $L_k$

$p_n = \sum_{k=0}^n \alpha_kL_k (x)$

Imponendo le condizioni di interpolazione

$y_i = p_n (x_i) = \sum_{k=0}^n \alpha_k L_k(x_i) = \sum_{k=0}^n\alpha_k \delta_{ik} = \alpha_i$

Il polinomio interpolante sarà;

$p_n (x) = \sum_{k=0}^n L_k(x) \cdot y_k$

non richiede risoluzione di un sistema lineare

Interpolazione mediante un polinomio

Approssimare una funzione in un intervallo $[a,b]$.

$f:[a.b] \rightarrow \mathbb{R}$
$x_0,\dots,x_n$ nodi distinti dell'intervallo considerato.

Polinomio che interpola lf nei nodi $x_n$ è

$p_n(x) = \sum_{k=0}^n L_k (x) f(x_k)$

funzione di Runge

errore in una funzione approssimata tramite polinomio interpolante

norma nello spazio vettoriale $\mathbb{C}([a,b]) == ||f||_{\infty} = \underset{a \le x \le b}{max} |f(x)|$

Tale norma induce la distanza $d(f,g) = ||f-g||_{\infty} = \underset{a \le x \le b}{max} |f(x) - g(x)|$

PROPOSIZIONE

$f \in \mathbb{C}^{n+1}([a,b]) : \forall x \in [a,b] \exists \rho_x \in [a,b] \ni' $

$f(x) - p_n(x) =\omega_n(x) \cdot \frac{f^{(n+1)} (\rho_x)}{(n+1)!}$

dove $\omega_n(x)$ è il polinomio di grado n+1

OSSERVAZIONE

tendiamo $x_1,\dots,x_n)$ al nodo $x_0$ si generà il polinomio interpolante $p_n(x)$ tenderà al polinomio di taylor sviluppato sull'intorno del punto $x_0$.

Il secondo membro del polinomio $\left( \omega_n(x) \cdot \frac{f^{(n+1)} (\rho_x)}{(n+1)!}\right)$ diventerà il resto di Lagrange