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Interpolazione - Coggle Diagram

- - - - PROPOSIZIONE
        \(f \in \mathbb{C}^{n+1}([a,b]) : \forall x \in [a,b] \exists \rho_x \in [a,b] \ni' \)
        \(f(x) - p_n(x) =\omega_n(x) \cdot \frac{f^{(n+1)} (\rho_x)}{(n+1)!}\)
        dove \(\omega_n(x)\) è il polinomio di grado n+1
        
        OSSERVAZIONE
        tendiamo \(x_1,\dots,x_n)\) al nodo \(x_0\) si generà il polinomio interpolante \(p_n(x)\) tenderà al polinomio di taylor sviluppato sull'intorno del punto \(x_0\).
        Il secondo membro del polinomio \(\left( \omega_n(x) \cdot \frac{f^{(n+1)} (\rho_x)}{(n+1)!}\right)\) diventerà il resto di Lagrange
- - - - Dato che il determinante non è nullo, allora il sistema lineare avrò una sola soluzione.
      - malcondizionata anche per valori non grandi di n
        
        si scrive il polinomio lungo una base diversa da quella della potenza
        
        Base di Lagrange
        
        nodi distinti nell'intervallo \([a,b]: x_0,x_1,\dots,x_n\).
        Si definisce k-esimo polinomio cardinale di Lagrange, il polinomio che rispetta l'equazione
        \( L_k (x) = \prod_{i = 0}^n \frac{x - x_i}{x_k- x_i}\)
        
        PROPOSIZIONE
        \(L_k(x)_{k= 0 ,\dots,n}\) linearmente indipendenti , nel senso che vengono visto come elementi spazio vettoriale \(\prod_n\)
        
        DIMOSTRAZIONE
        combinazione lineare nulla \(\sum_{k=0}^n \alpha_k L_k(x) = 0, \forall x \in [a,b]\), che soddisfa la proprietà \( L_k(x_i) = \begin{cases} 0 && i \neq k \\ 1 && i = k \end{cases}\)
        Dimostriamo che \(\alpha_n =0 \).
        Ricordiamo il simbolo di Kronecker \( \delta_{ik} = \begin{cases} 0 && i \neq k \\ 1 && i = k \end{cases}\implies L_k = \delta{ik}\)
        Valutiamo la combinazione lineare nel nodo \(x = x_i\)
        \(0 = \sum_{k=0}^n \alpha_k L_k(x_i) = \sum_{k=0}^n \alpha _k \delta_{ik} = \alpha_i \delta{ii} = \alpha_i\)
        
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        Polinomio interpolante di Lagrange
        
        generico polinomio \(p_n \in \prod_n\) = combinazione lineare degli elementi di \(L_k\)
        \(p_n = \sum_{k=0}^n \alpha_kL_k (x)\)
        
        Imponendo le condizioni di interpolazione
        \(y_i = p_n (x_i) = \sum_{k=0}^n \alpha_k L_k(x_i) = \sum_{k=0}^n\alpha_k \delta_{ik} = \alpha_i\)
        
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        Base di Newton