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Las ecuaciones diofánticas - Coggle Diagram
Las ecuaciones diofánticas
Origen
siglo III a.C
el matemático griego
considerado el padre de las ecuaciones diofánticas, y su obra "Arithmetica" es uno de los primeros tratados conocidos sobre el tema.
Las ecuaciones diofánticas
en el siglo IV a.C. con el pitagórico Thymaridas de Paros
propuso un método para resolver sistemas particulares de n ecuaciones lineales con n incógnitas
Durante el siglo VI el gran matemático y astrónomo Hindú Brahmagupta
trabajó con ecuaciones lineales presentando una solución general
a la ecuación lineal de primer grado, incluso también a la ecuación de segundo grado.
las tablillas de arcilla
un gran número de ellas muestran como empleaban las matemáticas para solucionar
los problemas, se encuentran algunos ejercicios que en el contexto actual
los solucionar con el uso de ecuaciones
su trabajo del algebra explica la forma deresolver una ecuación de segundo grado, para ello hacia uso de la geometría,
estas ecuaciones de segundo grado se consideran en este trabajo como diofánticas puesto que el solo consideraba soluciones enteras y positivas
continuó con los trabajos de Al-khwarizmi y fue hasta el XIII que el matemático Leonardo e pisa más conocido como Fibonacci aprovecho los aportes de Al-khwarizmi.
1461 y 1464, cuestión que llevóa la primera traducción al latín, hecha por W. Holzmann quién escribió bajo la versión griega de nombre X’ylander y publicada en el año 1575.
1600 a 1670 escribió en una de sus notas un ejemplar del texto griego de la aritmética de Diofánto, escribió en una de sus notas un ejemplar del texto griego de la aritmética de Diofánto.
involucra un método simple que se repite varias veces, es fácil de aplicar
su desarrollo requiere el proceso de la división y las propiedades de los enteros bajo la suma y multiplicación.
ejemplo
se busca el máximo común divisor entre a y b, en esta caso 𝑎 = 738 y 𝑏 = 621 y como 𝑚. 𝑐. 𝑑. (728, 621) = 9, la ecuación tiene solución
Este proceso es cómodo al ser más corto que el
algoritmo de Euclides.
Diofanto de Alejandría.
fue el centro de la actividad matemática hasta la muerte de Hipatia en el año 415.
A Diofanto se le puede llamar el “padre del álgebra”, aunque su obra no contiene el material que constituye la base del álgebra elemental moderna.
Su obra más importante es:
Diofanto empieza a adoptar algunas abreviaturas en vez de lenguaje ordinario.
Métodos de solución de ecuaciones diofánticas.
Método de Fibonacci
El doble del producto de los dos números del medio genera el otro cateto.
La suma de los cuadrados de los números intermedios, genera la hipotenusa.
El producto de los dos números que se encuentran en los extremos, generan un
cateto.
El método general seria, considere los números 𝑓𝑛, 𝑓𝑛+1, 𝑓𝑛+2, 𝑓𝑛+3 de la sucesión de Fibonacci, de tal manera que 𝑎 = 𝑓𝑛𝑓𝑛+3, 𝑏 = 2𝑓𝑛+1𝑓𝑛+2 y 𝑐 = (𝑓𝑛+1)2 + (𝑓𝑛+2)2
Método de Diofánto
forma 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒛𝟐
utilizo elementos geométricos para resolver problemas algebraicos, de los cual se deduce que 𝑚 en la pendiente de una recta que pasa por la circunferencia unitaria utilizada por Diofánto para parametrizar el método visto en este apartado.
Método de pulverización
El método consiste en hacer divisiones entre los coeficientes delas variables, e involucrar una nueva variable, hasta que el residuo sea nulo
Método de Diofánto
trabajo en la solución de ecuaciones 𝑎𝑥 + 𝑐 = 𝑏𝑦 sin estar sujeta a un sistema, (Van Der Waerden, 1985) en su libro plasma el método en el cual Diofánto utiliza el algoritmo de Euclides, para hallar soluciones a estas ecuaciones
Curvas elípticas
Estas curvas se definen mediante ecuaciones cúbicas, éstas han sido usadas para probar el último teorema de Fermat y se emplea también en la criptografía y en la factorización de enteros.
son ”regulares", es decir ”no-singulares", lo queEstas curvas no son elipses, las curvas elípticas son ”regulares", es decir no singulares", lo que
ejemplo 2 = x3 + 7
Definión
es una ecuación algebraica en la que se buscan soluciones enteras en lugar de soluciones generales (números Formalmente, una ecuación diofántica se expresa de la siguiente manera:
ax + by = c,
Tipos de ecuaciones diofánticas
.
Ecuaciones diofánticas cuadráticas
variables pueden tener exponentes de grado 2. Por ejemplo, la ecuación ax^2 + by^2 = c, donde a, b y c son coeficientes enteros, es una ecuación diofántica cuadrática.
Ecuaciones diofánticas simétricas
los coeficientes de las variables son los mismos, pero pueden aparecer con signos diferentes. Por ejemplo, la ecuación ax^2 + bxy + cy^2 = 0 es una ecuación diofántica simétrica.
Ecuaciones diofánticas homogéneas
el término constante es cero, es decir, tienen la forma ax + by = 0. Estas ecuaciones buscan soluciones enteras que satisfagan la propiedad de ser combinaciones lineales enteras.
Ecuaciones diofánticas indeterminadas
se busca encontrar soluciones enteras que satisfagan una cierta condición adicional. Por ejemplo, la ecuación x^2 - 2y^2 = 1 es una ecuación diofántica indeterminada conocida como la ecuación de Pell.
Ecuaciones diofánticas lineales
Son ecuaciones en las que todas las variables tienen grado 1, es decir, no se presentan exponentes diferentes a 1. Un ejemplo de ecuación diofántica lineal es ax + by = c, donde a, b y c son coeficientes enteros.
Ecuaciones diofánticas en secundaria.
se abordan ecuaciones diofánticas lineales simples que involucran dos variables
ejemplo
3x + 5y = 12, donde x e y son números enteros.
la
ax2 +by2 +cz2 =0
Teorema 1 Sean a, b, c enteros no nulos, tal que el producto abc es un cuadrado cualquiera.
La condición necesaria y suficiente para que ax2 + by2 + cz2 = 0 tenga una solución en los enteros; x, y, z no deben ser nulos y a, b, c no tienen el mismo signo.
esta ecuación proviene de Legendre, la prueba es
reciente, adaptada de un paper de Mordell.
x4+y4=z2
Se demostrará ahora la inposibilidad de solución de la ecuación x 4 + y4 = z2 en los númerosenteros positivos
argumento es indirecto, en lo que se refiere a suponer que existe una solución en los enteros positivos, y esto conducirá a una contradicción.
A veces llaman en método usado en la prueba de este teorema "la prueba por la pendiente” ó ”el método de Fermat de la pendiente infinita"
.
ax2 + by2 = z2
donde a y b son números naturales, ninguno de los cuales es un cuadrado perfecto. Tal ecuación puede no tener solución (aparte para la solución x = y = z = 0).
x3 +y3 =z3 +w3
tiene infinitas soluciones enteras, con soluciones obvias x = z ó
x = w ó x = −y
Una fórmula que entrega soluciones, fue encontrada en el año1591 (Vieta),siendo descubierta una fórmula más general por
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Euler entre los años 1756−1760.
luego, Bieneten 1841 simplifica la fórmula.
x2 +y2 =z2
es la ecuación de la base de la fórmula cos2 α + sin2 α = 1 y el origen del análisis indeterminado de Diofanto y Fermat
Ecuación de Pell.
Si d es negativo, puede tener sólo un número finito de soluciones.
Si d es un cuadrado perfecto, digamos d=a 2 la ecuación se reduce a (x − ay)(x + ay) = N y nuevamente tiene sólo un lnúmero finito de soluciónes.
La ecuación x 2 − dy2 = N, con enteros d, N y x e y incognitas, es lo que llamamos la ecuación 2 − dy2 = N, con enteros d, N y x e y incognitas, es lo que llamamos la ecuación de Pell.
El caso más interesante de la ecuación surge cuando d es un entero positivo y no es un cuadrado perfecto
