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Las ecuaciones diofánticas - Coggle Diagram
Las ecuaciones diofánticas
Qué son
Igualdad de polinomios
Cantidades conocidas
Incógnitas
Conjunto de soluciones
Números naturales
Números enteros
Origen
Polinomios de Diofanto
Con incógnita "s"
Presentes en su obra “Arithmetica”
Aspectos históricos
Babilonia
Registros en tablillas de arcilla
por ejemplo
Asignaban el valor de 5 a una mano
Solución de Anchura=20 y longitud=30
Asignaban valores a las variables
Griegos
Ecuaciones de diferentes grados
𝑎²+𝑏²=𝑐²
𝑎𝑥−𝑏𝑦=𝑐
por ejemplo
“Descomponer un número en dos partes cuya diferencia sea dada.”
Sea 100 el número a descomponer
Encontrar dos números tales que su suma sea 100 y su diferencia 40
Utiliza relaciones entre el aritmo y los números
Sea 40 la diferencia
India
Hindú Brahmagupta
Trabajó con ecuaciones lineales
Método pulverizador
División entre los cocientes de las variables
Hasta que el residuo sea nulo
Involucrar una nueva variable
Posterior a las civilizaciones antiguas
Al-khwarizmi
Uso de la geometría
para
Resolver ecuaciones de segundo grado
Teorema de Fermat
Nuevas ecuaciones diofánticas
Ejemplo
𝑥²+ 3𝑦²=𝑧³
Sea 𝑎³>9𝑎𝑏²
𝑥=𝑎³−9𝑎𝑏²
𝑦=3𝑎²𝑏− 3𝑏³
𝑧=𝑎²+3𝑏²
Métodos para resolverlas
Euler
Suma y multiplicación
Requiere de la división
738𝑥 + 621𝑦 = 45
MCD entre a y b
𝑚.𝑐.𝑑.(728,621)= 9
Se despeja 𝑦
Se llama t a la fracción
𝑢=−4𝑣+1
Números enteros
Diofanto de Alejandría
En la “Edad de Plata”
“Padre del álgebra”
Creador de “Arithmetica”
Resolución de ecuaciones
Determinadas
Indeterminadas
Adopta abreviaturas
Tipos
Lineales
Espacio vectorial de dimensión ”n”,(V,+,∗)
Tomando sus bases B={e¹,e²,...,eⁿ}
Para todo x∈V, x=x¹e¹+x²e²+...+xⁿeⁿ
f(x)=a si y solo si a¹x¹+a²x²+...+aⁿxⁿ=a
Sobre un Cuerpo (K,+,·)
Cuadráticas
ax² + bxy + cy² = d
a. b, c, d son enteros
X y Y son incógnitas
(x+y)(x-y) = t
De otros grados
David Hilbert
Para todo n∈N existe otro número natural kn
Tal que
Admite valores naturales
Métodos de solución
De la forma 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐
Método de la falsa posición
Desarrollado por los egipcios
Sean 𝑥=𝑥¹
se tiene que 𝑑=𝑐𝑓 y 𝑓=𝑚.𝑐.𝑑.(𝑥¹,𝑦¹)
𝑥 y 𝑦 pertenecen a los enteros
𝑦=𝑦¹
𝑥¹,𝑦¹∈ ℤ valores falsos tal que 𝑎𝑥¹+𝑏𝑦¹=𝑑
El Algoritmo de Euclides
Para hallar el mcd entre 𝑎 y 𝑏 enteros (𝑚.𝑐.𝑑(𝑎,𝑏))
Magnitudes mayores que 0
Establece que 𝐴𝐵>𝐶𝐷
Se establece que ∃𝑞,𝑟∈ℤ+ / 𝑎= 𝑏𝑞+𝑟 con 0≤𝑟<𝑏
Método de Diofánto
Solución de ecuaciones 𝑎𝑥+𝑐=𝑏𝑦
Determinar el 𝑚𝑐𝑑(𝑎,𝑏)=𝑑 tal que 𝑑∕𝑐
Se establecen las parametrizaciones
Se realizan dos sustituciones
A partir del último parámetro
Se llega a
Método de pulverización
Divisiones entre los coeficientes
Involucrar una nueva variable
Hasta que el residuo sea nulo
Empleo de sustituciones
Posterior a la parametrización
De la forma 𝑥²+𝑦²=𝑧²
Método de Diofánto
Uso de elementos geométricos
Resolver problemas algebraicos
𝑚 en la pendiente de una recta
Pasa por la circunferencia unitaria
Para parametrizar
Método de Fibonacci
Genera ternas pitagóricas
4 números de Fibonacci consecutivos
Los extremos generan un cateto
El doble producto del medio genera otro cateto
La suma de cuadrados de los intermedios, genera la hipotenusa
En secundaria
Catalogadas como difíciles y laboriosas
Interés en relación con las incógnitas
ejemplo
Volumen de líquido
No importará
Cantidad de personas
Sí importará
La ecuación
Apariciones
Teorema de Pitágoras
Ecuación de la circunferencia
Fórmula cos²α+sin²α=1
Análisis indeterminado de Diofanto y Fermat
Usos
Medida de montañas lunares
Altura de edificios
Teorema de Pitágoras
Hallar longitudes
La ecuación
a y b son números naturales
Ninguno es cuadrado perfecto
Congruencia
Si a = b
1≡−γ²(mod a)
a es representable como p²+q²
x=p, y=q, z=p²+q²
La ecuación
a, b, c enteros no nulos
El producto abc es un cuadrado cualquiera
Condición
x, y, z no deben ser nulos
a, b, c no tienen el mismo signo
−bc, −ac, −ab
Residuos cuadráticos módulo a, b, c
La ecuación
No tiene solución en los enteros positivos
Se establece el m.c.d (x, y, z) = 1
p es primo y divide a x, y, y z
p⁴/(x⁴+y⁴)
p⁴/z² y p²/z
Únicas soluciones
Soluciones triviales
x=0
z=±y²
y=0
z=±x²
La ecuación
Es insoluble
Infinitas soluciones enteras
Soluciones obvias
X = Z
X = W
X = -Y
Curvas elípticas
Definición mediante ecuaciones cúbicas
Usos
Probar el último teorema de Fermat
En la criptografía
Factorización de enteros
Son ”regulares"
No tienen ”Cúspides"
No tiene auto intersecciones
Ecuación general
Ecuación de Pell
Es la ecuación x²−dy²=N
Con enteros d, N y x, y incognitas
D
Negativo
Número finito de soluciones
Cuadrado perfecto
(x−ay) (x+ay) = N
Número finito de soluciónes
Entero positivo
Fracciones simples continuas
