Spazi lineari

Norma indotta

Definizione

V insieme in cui valgono legge di composizione interna ed esterna.

Terna $(V,+,\cdot) \implies$ spazio vettoriale se verifica le proprietà

$(V,+)$ gruppo abeliano

$\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R}, \forall v \in V : (\alpha + \beta)\cdot v = \alpha \cdot v + \beta \cdot v;$

$\forall \alpha, \in \mathbb{R},\forall u,v \in V: \alpha \cdot (u+v) = \alpha \cdot u + \alpha \cdot v$

$\forall \alpha,\beta \in \mathbb{R},\forall cv \in V: \alpha \cdot (\beta \cdot |v) = (\alpha\beta)\cdot v$

$\forall v \in V : 1\cdot v = v$

Combinazione lineare di vettori

$v_1,v_2,\dots,v_n \in V$ spazio vettoriale
combinazione lineaere di ogni elemento di V è

$v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2v_2 + \dots+ \alpha_nv_n = \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i$

OSSERVAZIONE

Un prodotto matricexvettore si può vedere come combinazione lineare delle colonne matrice x coefficienti dati dagli elementi del vettore

Lineare dipendenza

i vettori $v_n \in V$ sono linearmente dipendenti se $\exists \alpha_1,\dots,\in \mathbb{R}$ non tutti nulli $\ni' \sum_{i=1}^n \alpha_iv_i=0$

Lineare indipendenza

i vettori $v_n \in V$ sono linearmente indipendenti se non sono dipendenti, quindi univa combinazione lineare dei vettori di V ha tutti coefficienti nulli.

Rango

proposizioni equivalenti

$v_1,\dots v_n \in \mathbb{R}^m$ linearmente indipendenti

$rank([v_1,v_2,\dots,v_n])=n\equiv $ numero delle colonne della matrice

tutti i coefficienti sono nulli; di conseguenza, il prodotto vettoriale Ax sarà nullo

$Ax = 0 \implies x = 0$

il vettore nullo è l'unica soluzione che ammette il sistema lineare

per il teorema di Rouche-Capelli,$ \implies rank(A)=n$

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Base spazio vettoriale

vettori $v_n \in V$ = generatori se ogni elemento dello spazio si esprime come combinazione lineare dei vettori $v_i$

$\forall v \in V \exists \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n \in \mathbb{R} \ni v = \sum_{i=1}^n\alpha_iv_i$

Proprietà

Ogni spazio ammette una base

Due basi stesso spazio avranno stesso numero di elementi (dimensione spazio vettotirale)

Proposizione

$v_1,\dots,v_n$ costituisco base di V

ogni elemento di spazio si esprime univocamente come combinazione lineare

DIMOSTRAZIONE $a \Rightarrow b$

esistsnza dimostrata direttamente dalla definizione.

Per unicità, consideriamo due combinazioni lineari di v per cui $\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i - \sum_{i=1}^n \beta_iv_i = 0$

Per la lineare indipendenza concludiamo che

$\begin{cases} \alpha_i - \beta_i = 0 \\ i = 1,\dots,n \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \alpha_i = \beta_i \\ i = 1,\dots,n\end{cases} $

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DIMOISTRAZIONE $b \implies a$

Per ipotesi sappiamo esistono e sono unici i coefficienti tali da creare gli elementi dello spazio.

Dobbiamo provare che tutti gli elementi dello spazio formano una base dello spazio V.

Il fatto che siano un sistema di generatori deriva dalla proprietà

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Bisogna provare lineare indipendenza

Definiamo una combinazione lineare nulla

$\sum_{i=1}^n \alpha_i v_i = 0$

È ovvio che i coefficienti $\alpha_n$ siano nulli: 0, appartenente allo spazio, è ottenibile solo tramite una combinazione, ossia quella con coefficienti tutti nulli.

Norme

V spazio vettoriale. Una norma

$|| \cdot || : V \rightarrow \mathbb{R}$

è tale perche definisce le seguenti proprietà

$\forall v \in V : ||v|| \ge 0 \land ||v|| = 0 \Leftrightarrow v = 0 $

$\forall v \in V, \forall \lambda \in \mathbb{R} : ||\lambda v || = |\lambda| \cdot ||v||$

$\forall u,v \in V: ||u+v|| \le ||u|| + ||v||$

coppia $(V,||\cdot||)$ = spazio normato

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Ogni norma induce una distanza

$d(u,v)=||u-v||$

Norme su vettori

$||\cdot||_2 $ = norma euclidea

$||\cdot||_1$ = Norma 1

$||\cdot||_{\infty}$ = norma infinito

Norme su matrici

A matrice con m righe e n colonne, $||\cdot|| $ norma su vettori.

Si definisce norma matriciale

$||A|| = \underset{x \in \mathbb{R}, x \neq 0}{max} \frac{||A||}{||x||}$

quantità finita;
sua applicazione $A \in \mathbb{R}^{m\times n} \rightarrow ||A|| \in \mathbb{R}$ associa ||A|| ad A.

Assiomi di norma soddisfatti.

Norma infinito

$||A||_{\infty} = \underset{x \in \mathbb{R}^n, x \neq 0}{max} \frac{||Ax||_{\infty}}{||x||_{\infty}} = \underset{j=1,\dots,n}{max} \sum_{i=1}^m |a_{ij}$

Norma 1

$||A||_{1} = \underset{x \in \mathbb{R}^n, x \neq 0}{max} \frac{||Ax||_{1}}{||x||_{1}} = \underset{j=1,\dots,n}{max} \sum_{i=1}^m |a_{ij}$

Norma 2

$||A||_2 = \sqrt{\rho (A^TA)}$

Vedi approfondimento #13

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Norma indotta

Possibile costruire una norma su matrici (norma indotta)

Considero funzione $G: \mathbb{R}^n - {0} \rightarrow \mathbb{R} \\ G(x) = \frac{||Ax||}{||x||}$

Norma non indotta = norma di frobenius

$||A||_F = \left( \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2 \right)^{\frac{1}{2}}$

Proprietà

Si dimostra che G(x) ammette massimo. Possiamo considera la sua applicazione:

$||\cdot|| = A \in \mathbb{R}^{m\times n} \rightarrow \underset{x \neq 0}{max} \frac{||Ax||}{||x||}$

Quest'applicazione rispetta gli assiomi di norma e quindi definisce una norma su matrici

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$forall x$ vettore : $||ax||\le ||A||||x|| \rightarrow$ compatibilità

$\forall A,B: ||AB|| \le ||A||||B||\rightarrow $ Disuguaglianza di Schwartz

$||I||=1\rightarrow $ identità

Q matrice unitaria $\implies ||Q||_2=1$