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Spazi lineari - Coggle Diagram

- - - - proposizioni equivalenti
        
        \(v_1,\dots v_n \in \mathbb{R}^m\) linearmente indipendenti
        
        tutti i coefficienti sono nulli; di conseguenza, il prodotto vettoriale Ax sarà nullo
        \(Ax = 0 \implies x = 0\)
        il vettore nullo è l'unica soluzione che ammette il sistema lineare
        per il teorema di Rouche-Capelli,\( \implies rank(A)=n\)
        
        \(rank([v_1,v_2,\dots,v_n])=n\equiv \) numero delle colonne della matrice
- - - - coppia \((V,||\cdot||)\) = spazio normato
        
        Ogni norma induce una distanza
        \(d(u,v)=||u-v||\)
  - - - Vedi approfondimento #13
  - - - quantità finita;
        sua applicazione \(A \in \mathbb{R}^{m\times n} \rightarrow ||A|| \in \mathbb{R}\) associa ||A|| ad A.
        Assiomi di norma soddisfatti.
        
        Norma infinito
        
        \(||A||_{\infty} = \underset{x \in \mathbb{R}^n, x \neq 0}{max} \frac{||Ax||_{\infty}}{||x||_{\infty}} = \underset{j=1,\dots,n}{max} \sum_{i=1}^m |a_{ij}\)
        
        Norma 1
        
        \(||A||_{1} = \underset{x \in \mathbb{R}^n, x \neq 0}{max} \frac{||Ax||_{1}}{||x||_{1}} = \underset{j=1,\dots,n}{max} \sum_{i=1}^m |a_{ij}\)
        
        Norma indotta
        
        Possibile costruire una norma su matrici (norma indotta)
        Considero funzione \(G: \mathbb{R}^n - {0} \rightarrow \mathbb{R} \\ G(x) = \frac{||Ax||}{||x||}\)
        
        Proprietà
        
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        Si dimostra che G(x) ammette massimo. Possiamo considera la sua applicazione:
        \(||\cdot|| = A \in \mathbb{R}^{m\times n} \rightarrow \underset{x \neq 0}{max} \frac{||Ax||}{||x||}\)
        Quest'applicazione rispetta gli assiomi di norma e quindi definisce una norma su matrici
        
        Norma non indotta = norma di frobenius
        \(||A||_F = \left( \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2 \right)^{\frac{1}{2}}\)
        
        Norma 2
        
        \(||A||_2 = \sqrt{\rho (A^TA)}\)
- - - - \(v_1,\dots,v_n\) costituisco base di V
        
        DIMOSTRAZIONE \(a \Rightarrow b\)
        esistsnza dimostrata direttamente dalla definizione.
        Per unicità, consideriamo due combinazioni lineari di v per cui \(\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i - \sum_{i=1}^n \beta_iv_i = 0\)
        Per la lineare indipendenza concludiamo che
        \(\begin{cases} \alpha_i - \beta_i = 0 \\ i = 1,\dots,n \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \alpha_i = \beta_i \\ i = 1,\dots,n\end{cases} \)
      - ogni elemento di spazio si esprime univocamente come combinazione lineare
        
        DIMOISTRAZIONE \(b \implies a\)
        Per ipotesi sappiamo esistono e sono unici i coefficienti tali da creare gli elementi dello spazio.
        Dobbiamo provare che tutti gli elementi dello spazio formano una base dello spazio V.
        Il fatto che siano un sistema di generatori deriva dalla proprietà
        
        Bisogna provare lineare indipendenza
        Definiamo una combinazione lineare nulla
        \(\sum_{i=1}^n \alpha_i v_i = 0\)
        È ovvio che i coefficienti \(\alpha_n\) siano nulli: 0, appartenente allo spazio, è ottenibile solo tramite una combinazione, ossia quella con coefficienti tutti nulli.