RANGO DI UNA MATRICE

Algoritmo di fattorizzazione opportunatamente modificato puo ridurre una matrice a scalini

Definizione

Proprietà

Ordine massimo dei numeri non nulli estraibili da A

$(rank(A) \le min \{ m,n\}$

$rank(0) = 0 \equiv rank([]) = 0$

A = quadrata, è non singolare $\Leftrightarrow rank(A) = n$

$ \begin{matrix} rank(a) = p \\ \Updownarrow \\ \exists \text{minore di ordine p non nullo} \\ \text{tutti i minori di ordine >p nulli} \end{matrix} $

permutando righe /colonne, rango non cambia

aggiungendo una combinazione lineare di altre righe, rango non cambia. Lo stesso per le colonne

Matrici ridotte a scalini

Definizione

Primo elemento $\neq 0$ di ogni riga a destra primo elemento $\neq 0$ riga precedente

Primi elementi righe non nulli = elementi pivotali
per colonne = colonne pivotali

OSSERVAZIONE

rango di una matrice coincide con numero elementi pivotali

sottomatrice quadrata triangolare superiore con elementi diagonali gli elementi pivotali è non singolare

Ogni altra sottomatrice >p sarebbe singolare

Algoritmo di fattorizzazione opportunatamente modificato puo ridurre una matrice a scalini

Bisogna ridurre a scalini la seguente matrice

Si trova il numero per cui, se si moltiplica ciascun elemento corrispondente della stessa riga, la riga in questione si annulla. In questo caso è 2, perche $ 2 \cdot 1 = 2 -2 = 0, 2 \cdot -2 = -4 + 4 = 0$

Si scambiano seconda e terza riga, e si procede da capo.

È diventata una matrice triangolare superiore

Teorema

A matrice mxn:
$\exists P m\times m$ di permutazione
$\exists L m\times m $ triangolare inferiore speciale
$\exists U m\times n $ ridotta a scalini

$\ni' PA = LU$

OSSERVAZIONE

L mxn triangolare inferiore speciale
B mxn generica

Considerando prodotto LB

prima riga inalterata
seconda riga = seconda riga di B è $e_{21} \cdot $ prima riga di B
terza riga = terzariga di B è $e_{31}\cdot$ prima riga di B + $e_{32} \cdot$ seconda riga di B
...

i-esima riga di LB = i-esima riga di B + combinazione lineare di altre righe

6
$rank(LB) = rank(B)$

5
$rank(PA) = rank(A)$

$rank(A) = rank(PA) = rank(LU) = rank(U)$

Risoluzione di sistemi lineari generici

sistema di m equazioni in n incognite
+
sistema lineare Ax = b

Algoritmo di eliminazione Gauss utilizzato

compatibilità sistema (se ammette soluzione)

trovare soluzioni sistema lineare compatibile

Algoritmo trasforma sistema lineare Ax=B in equivalente Ux=c

vede esempi

Teorema di Rouche-Capelli

sistema lineare Ax = b
matrice dei coefficienti A e la matrice completa $[A |b]$ stesso rango
sistema ammette infinite soluzioni dipendenti da n-p parametri

Si riduce matrice completa a scalini $\implies [U|c]$