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Los Elementos de Euclides - Coggle Diagram
Los Elementos de Euclides
Rectas
I.3 Dados dos segmentos, uno mayor que el otro, construir sobre el mayor un segmento igual al menor.
I.2 Dado un punto y un segmento construir a partir del punto un segmento igual al dado.
1.7 Dos segmentos respectivamente iguales a otros dos con los mismos extremos en el mismo lado de un mismo segmento, no se juntan en dos puntos distintos.
Perpendiculares
1.11 Dado un segmento y un punto en él trazar a partir del punto un segmento perpendicular al dado.
1.12 Dado un segmento y un punto fuera de él trazar un segmento perpendicular al dado que pase por dicho punto.
1.14 Dado un segmento y uno de sus puntos, si dos segmentos levantados a partir del punto no están del mismo lado del segmento y forman ángulos adyacentes iguales a dos rectos, entonces ambos segmentos están alineados.
1.10 Dividir en dos partes iguales un segmento rectilíneo dado.
1.15 Si dos segmentos se cortan entre sí, los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Paralelas
I.27 Si una transversal a dos rectas forma con éstas ángulos alternos internos iguales entre sí, entonces las rectas son paralelas.
I.28 Si una transversal a dos rectas forma con éstas un ángulo externo igual al ángulo interno no adyacente del mismo lado, o si los dos ángulos internos del mismo lado suman 180°, entonces las rectas son paralelas entre sí.
I.29 Una transversal a dos rectas paralelas forma con éstas ángulos alternos internos iguales entre sí, un ángulo externo igual al interno no adyacente del mismo lado, y los dos ángulos internos del mismo lado suman 180º.
I.30 Rectas paralelas a una misma recta son paralelas entre sí.
I.31 Trazar por un punto una recta paralela a otra recta dada.
Ángulos
1.9 Dividir en dos ángulos iguales un ángulo rectilíneo dado.
1.13 Si un segmento trazado sobre otro forma ángulos, entonces se forman dos ángulos rectos o dos ángulos cuya suma es igual a dos rectos.
1.23 Construir un ángulo rectílineo igual a otro ángulo rectilíneo dado sobre un segmento dado en uno de sus puntos.
Triángulos
Congruencia
I.4 Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido son respectivamente iguales a dos lados y el ángulo comprendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. (LAL).
I.8 Si los tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los tres lados de otro, entonces los dos triángulos son congruentes (LLL ).
I.26 Si dos triángulos tienen dos ángulos de uno respectivamente iguales a dos ángulos del otro y un lado de uno igual a un lado del otro, a saber, el lado adyacente a los ángulos iguales, o el lado opuesto a los ángulos iguales, entonces los dos triángulos son congruentes (ALA).
Pitágoras
I.47 En los triángulos rectángulos el área del cuadrado sobre el lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre los lados que comprenden el ángulo recto.
I.48 Si en un triángulo el área del cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los dos lados restantes, el ángulo comprendido por esos dos lados restantes del triángulo es recto.
Propiedades de los triángulos
I.1 Construir un triángulo equilátero sobre un segmento de recta dado.
1.16 En todo triángulo, si uno de sus lados es prolongado, el ángulo externo es mayor que cada uno de los ángulos internos y opuestos a él.
1.17 En todo triángulo la suma de cualesquiera dos ángulos internos es menor que 180º.
1.18 En todo triángulo al lado más grande se opone el ángulo más grande.
1.19 En todo triángulo al ángulo más grande se opone el lado más grande.
1.20 En todo triángulo la suma de cualesquiera dos de sus lados es mayor que el tercero.
1.21 Si dos segmentos que parten de los extremos de uno de los lados de un triángulo se encuentran dentro de él, la suma de tales segmentos es menor que la suma de los lados restantes del triángulo, pero el ángulo que comprenden es mayor.
1.22 Construir un triángulo con tres segmentos iguales a otros tres dados. Necesariamente la suma de cualesquiera dos de estos segmentos debe ser mayor que el restante.
1.24 Si dos triángulos tienen dos de los lados de uno respectivamente iguales a dos de los lados del otro, pero de los ángulos comprendidos por los lados iguales es uno mayor que el otro, entonces la base en uno es mayor que la del otro.
1.25 Si dos triángulos tienen dos de los lados de uno respectivamente iguales a dos de los lados del otro, pero la base de uno es mayor que la del otro, entonces el ángulo comprendido por los lados iguales en uno es mayor que el del otro.
I.32 En cualquier triángulo, si se prolonga uno de sus lados, el ángulo externo es la suma de los dos ángulos internos no adyacentes, y los ángulos internos del triángulo suman 180º.
I.37 Los triángulos que tienen la misma base y están contenidos en las mismas paralelas, tienen áreas iguales.
I.38 Los triángulos que tienen bases iguales y están contenidos en las mismas paralelas, tienen áreas iguales.
I.39 Triángulos con áreas iguales y que tienen la misma base y están del mismo lado, están contenidos en las mismas paralelas.
I.40 Triángulos con áreas iguales y que tienen bases iguales y están del mismo lado, están contenidos en las mismas paralelas.
Isósceles
1.5 En todo triángulo isósceles los ángulos en la base son iguales, y si los lados iguales se prolongan, los ángulos por debajo de la base serán también iguales.
1.6 Si dos ángulos de un triángulo son iguales, entonces los lados subtendidos por tales ángulos, son también iguales.
Paralelogramos
I.33 Los segmentos que unen los extremos de segmentos iguales y paralelos, son también iguales y paralelos.
I.34 En todo paralelogramo los lados y los ángulos opuestos son iguales, y la diagonal divide el área del paralelogramo en dos áreas iguales.
I.35 Los paralelogramos que tienen la misma base y están contenidos en las mismas paralelas, tienen áreas iguales.
I.36 Los paralelogramos que tienen bases iguales y están contenidos en las mismas paralelas, tienen áreas iguales.
I.41 Si un paralelogramo y un triángulo tienen la misma base y están contenidos en las mismas paralelas, entonces el área del paralelogramo es el doble del área del triángulo.
I.42 Construir un paralelogramo de igual área a la de un triángulo dado en un ángulo dado.
I.43 En cualquier paralelogramo los complementos de los paralelogramos alrededor de la diagonal tienen áreas iguales.
I.44 Construir sobre un segmento dado en un ángulo dado un paralelogramo de igual área a la de un triángulo dado.
I.45 Construir en un ángulo dado un paralelogramo de igual área a la de una figura rectilínea dada.
I.46 Construir un cuadrado sobre un segmento dado.
