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Successioni e serie in campo complesso - Coggle Diagram
Successioni e serie
in campo complesso
FUNZIONI
INTRO
Successioni
convergenza puntuale
convergenza uniforme
Serie
convergenza puntuale
convergenza uniforme
convergenza assoluta
CRITERI
Cauchy
: convergenza uniforme di successioni e serie di funzioni
Weierstrass
: convergenza assoluta ed uniforme di una serie di funzioni
Rapporto
: convergenza assoluta ed uniforme di una serie di funzioni
TEOREMI
integrabilità
successioni e serie convergenti uniformemente
analiticità
di successioni e serie convergenti uniformemente
continuità
successioni e serie convergenti uniformemente
POTENZE
Definizione
1) c è il centro della serie di potenze -> essa converge sempre nel suo centro
2) a_n, c sono numeri complessi assegnati
Esempio:
Serie geometrica
Si prenda una serie di potenze con a_n pari a 1 e centro nullo.
1) per ogni |z| < 1 la serie converge alla somma 1/1-z (anche assolutamente se z -> |z|);
2) per ogni |z| > 1 la serie diverge;
NB CONVERGENZA UNIFORME
1) la serie converge a 1/1-z per ogni z in Br(0), con 0<r<1;
2) la serie non converge uniformemente in B1(0).
Raggio di convergenza R
Si prenda una serie di potenze con centro nullo.
Allora esiste un unico R positivo tale che:
1) per ogni |z| > R la serie non converge;
2) per ogni |z| < R la serie converge;
3) se r < R, per ogni |z| < r la serie converge uniformemente ed assolutamente
calcolo
teorema di Abel
criterio del rapporto
Analiticità di una serie di potenze
IPOTESI
una serie di potenze a_n(z-z_0)^n converge ad una funzione f all'interno del cerchio di convergenza di centro z_0 e raggio R
TESI
f è analitica in BR(z_0)
SVILUPPO IN SERIE DI POTENZE
dominio di analiticità riconducibile ad un cerchio + serie di potenze intere positive
TAYLOR
Teorema di Taylor
:
se f è una funzione analitica in BR(z_0), allora in quel dominio la funzione ammette sviluppo in serie di Taylor.
serie logaritmica e serie binomiale
dominio di analiticità riconducibile ad un anello + serie di potenze bilateri (potenze positive e negative):
LAURENT
Teorema: sviluppo in serie di Laurent
Se f è una funzione analitica in un anello, allora vale lo sviluppo in serie di Laurent
