Successioni e serie
in campo complesso

FUNZIONI

INTRO

Successioni

convergenza puntuale

Serie

convergenza puntuale

convergenza uniforme

convergenza assoluta

convergenza uniforme

CRITERI

Cauchy: convergenza uniforme di successioni e serie di funzioni

TEOREMI

Weierstrass: convergenza assoluta ed uniforme di una serie di funzioni

Rapporto: convergenza assoluta ed uniforme di una serie di funzioni

integrabilità successioni e serie convergenti uniformemente

analiticità di successioni e serie convergenti uniformemente

continuità successioni e serie convergenti uniformemente

POTENZE

Definizione

Esempio:
Serie geometrica

Raggio di convergenza R

image

Si prenda una serie di potenze con a_n pari a 1 e centro nullo.


1) per ogni |z| < 1 la serie converge alla somma 1/1-z (anche assolutamente se z -> |z|);
2) per ogni |z| > 1 la serie diverge;


NB CONVERGENZA UNIFORME
1) la serie converge a 1/1-z per ogni z in Br(0), con 0<r<1;
2) la serie non converge uniformemente in B1(0).

Si prenda una serie di potenze con centro nullo.


Allora esiste un unico R positivo tale che:
1) per ogni |z| > R la serie non converge;
2) per ogni |z| < R la serie converge;
3) se r < R, per ogni |z| < r la serie converge uniformemente ed assolutamente

SVILUPPO IN SERIE DI POTENZE

dominio di analiticità riconducibile ad un cerchio + serie di potenze intere positive
TAYLOR

dominio di analiticità riconducibile ad un anello + serie di potenze bilateri (potenze positive e negative): LAURENT

Teorema di Taylor:
se f è una funzione analitica in BR(z_0), allora in quel dominio la funzione ammette sviluppo in serie di Taylor.

Teorema: sviluppo in serie di Laurent
Se f è una funzione analitica in un anello, allora vale lo sviluppo in serie di Laurent

1) c è il centro della serie di potenze -> essa converge sempre nel suo centro
2) a_n, c sono numeri complessi assegnati

calcolo

teorema di Abel

criterio del rapporto

Analiticità di una serie di potenze

IPOTESI
una serie di potenze a_n(z-z_0)^n converge ad una funzione f all'interno del cerchio di convergenza di centro z_0 e raggio R


TESI
f è analitica in BR(z_0)

serie logaritmica e serie binomiale