goniometrie
georiënteerde hoeken in de goniometrische cirkel
Georiënteerde hoek
definitie: is een hoek waarbij je een beginbeen hebt gekozen
draaiing wijzerzin: neg. georiënteerd
draaiing tegenwijzerzin: pos. georiënteerd
beeldpunt georiënteerde hoek
georiënteerde cirkel:
definitie: is een cirkel met straal 1 en als middelpunt de oorsprong van een cartesiaans assenstelsel
eindbeen snijdt de cirkel is het beeldpunt P
assenstelsel verdeelt cirkel in 4 kwadranten
maatgetal georiënteerde hoek
maatgetal: verzameling van alle hoekgrootes die bij een georiënteerde hoek horen
hoekgrootte: notatie met Griekse letter (α, β,...)
maatgetal:
notatie: α + k · 360° met k ∈ Z
hoekgrootte in intervan [-180° , 180°] = hoofdwaarde
Goniometrische getallen
sinus en cosinus georiënteerde hoek
cos α en sin α = goniometrische getallen
y-waarde of ordinaat
sinus α lees je af op de y-as
x-waarde of abscis
cos α lees je af op de x-as
co(P) = (xp, yp)
= (cos α, sin α)
tangens georiënteerde hoek
definitie: quotiënt van de sinus en de cosinus van die hoek α
grafisch is de tangens van de hoek α de y-waarde van het snijpunt T van het eindbeen of het verlengde van het eindbeen van hoek α. Met raaklijn in (1, 0) aan de goniometrische cirkel
tangens α = sin α / cos α
co(T)= (1, tan α)
cotangens georiënteerde hoek
definitie: quotiënt van de cos en de sin van die hoek α
Grafisch is de cot van de hoek α de x-waarde van het snijpunt C van het eindbeen of het verlengde van het eindbeen van de hoek α met de raaklijn in (0, 1) aan de goniometrische cirkel.
cot α= cos α / sin α
cot(C)= (cot α, 1)
Berekenen van het maatgetal van een georiënteerde hoek als een goniometrisch getal gegeven is
bv: basiswaarde berekenen: sin α = 0,456 137 = 27°8'17''
Goniometrische getallen van verwante hoeken
verwante hoeken
georiënteerde nulhoek
= hoek waarvan het beginbeen en het eindbeen samenvallen
teg. hoek: α - α= 0°
constructie: spiegelbeeld t.o.v. x-as
supplementaire h.: 180° - α
constructie: spiegelbeeld t.o.v. y-as
complementaire h.: 90° - α
conclusie: spiegelbeeld t.o.v. 1e bissectrice
antisupplementaire h.: 180° - α
conclusie: spiegelbeeld t.o.v. (0, 0)
goniometrische getallen van verwante hoeken
teg. hoeken hebben
dezelfde cosinussen
teg. cosinussen
teg. tagenten
teg. cotangenten
supp. hoeken hebben:
antisupp. hoeken hebben:
teg. cosinussen
dezelfde sinussen
teg. tangenten
teg. cotangenten
teg. cosinussen
teg. sinussen
dezelfde tangenten
dezelfde cotangenten
comp. hoeken hebben:
cos. van een hoek = sinus van zijn comp.
sin. van een hoek=cos. van zijn comp.
tan. van een hoek=het omgekeerde van de tan. van zijn comp.
of tan. van een hoek=cot. van zijn comp.
Goniometrische formules
cos²α + sin²α = 1
1 + tan²α = 1 / cos²α met α ≠ 90°+k.180°
cot²α + 1 = 1 / sin²α met α ≠ k.180°