Integrali nel piano complesso
INTRODUZIONE
Teorema fondamentale del calcolo
Disuguaglianza: il modulo dell'integrale è <= dell'integrale del modulo
INSIEMI E CURVE
Curva di Jordan: definizione + teorema + verso della curva di Jordan
Definizione: integrali di funzioni complesse di variabile reale
Definizione: integrale lungo una curva regolare a tratti
Proprietà di linearità (4)
Disuguaglianza di Darboux
TEOREMA DELL'ESISTENZA DELLA PRIMITIVA.
IPOTESI: f: D -> C continua, D aperto connesso
TESI: sono equivalenti:
1) f ha primitiva in D
2) l'integrale lungo una curva dipende solo dai punti iniziale e finale
3) l'integrale lungo un circuito è nullo
Dominio semplicemente connesso:
ogni curva interna al dominio può essere deformata ad un punto
Dominio molteplicemente connesso:
1) la sua frontiera è costituita da C, -C1... -Cn curve semplici, chiuse e regolari.
2) le tracce delle curve C1, Cn sono contenute nel dominio racchiuso da C.
3) Int(Cj) non si intereseca mai con Int(Ck) per ogni j diverso da k.
CAUCHY-GOURSAT
IPOTESI:
f continua con derivata prima continua,
C circuito con dominio interno semplicemente connesso,
TESI:
l'integrale di f su C è la somma dell'integrale reale della circuitazione su C + integrale immaginario del flusso di f sulla regione racchiusa da C
TEOREMA DI CAUCHY - VERSIONE DEBOLE
IPOTESI:
f analitica
D semplicemente connesso
f ha derivata prima continua in D
TESI: il suo integrale lungo una qualsiasi curva chiusa semplice regolare a tratti contenuta nel dominio è nullo.
Se f è analitica il suo campo è solenoidale ed irrotazionale!
1
TEOREMA DI CAUCHY - GOURSAT
IPOTESI:
f analitica
D semplicemente connesso
TESI:
il suo integrale lungo una qualsiasi curva chiusa semplice regolare a tratti è nullo.
conseguenza
Se f è analitica in un dominio D aperto e semplicemente connesso -> f è dotata di primitiva in D
2
CAUCHY - GOURSAT ESTESO // DEFORMAZIONE DEI CAMMINI
IPOTESI:
Siano C1, C2 due cammini chiusi, semplici, regolari a tratti orientati positivamente. Sia la traccia di C1 contenuta in Int(C2).
Sia f analitica in un dominio D che contiene entrambe le curve e nella regione di piano tra esse compresa.
TESI:
L'integrale della funzione sulla curva C1 è equivalente all'integrale della funzione sulla curva C2.
3
CAUCHY - GOURSAT ESTESO // N ARBITRARIO
IPOTESI:
Sia D un dominio (n+1) volte connesso, con il contorno completo dato dalle curve C, -C1.... -Cn.
Sia f una funzione analitica in D
TESI:
L'integrale sulla curva C è equivalente alla somma degli integrali calcolati sulle curve interne Cn.
Da ricordare:
FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY
TEOREMA: FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY
IPOTESI:
f analitica su e all'interno di una curva chiusa semplice e regolare orientata positivamente
TESI:
Per ogni punto z interno alla curva, il valore della funzione in quel punto è esprimibile tramite i valori che la funzione assume sulla curva
la curva è un cerchio
dominio illimitato
FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY ESTESA
IPOTESI:
f analitica su una curva -gamma chiusa semplice e regolare, orientata in senso orario
D è un dominio formato dalla parte di piano esterna alla curva, tale che la funzione tende a zero per z-> infinito.
TESI:
Il valore della funzione in un qualunque punro z del dominio è esprimibile tramite l'integrale sulla curva -gamma
TEOREMA DELLA MEDIA
IPOTESI:
f analitica nel e sul cerchio di raggio R e centro z0
TESI:
f(z0) è pari alla media aritmetica dei valori assunti sulla circonferenza
CONSEGUENZE
TEOREMA: DERIVATE DELLE FUNZIONI ANALITICHE
IPOTESI:
f analitica in un dominio D aperto
TESI:
f ha derivate di ogni ordine in D,
inoltre la derivata n-esima può essere calcolata:
COROLLARIO
f analitica in D aperto -> le sue derivate di ogni ordine n sono analitiche.
TEOREMA: nei punti in cui f = u+iv è analitica, tutte le derivate parziali di u e v sono continue.
viceversa
TEOREMA DI MORERA
IPOTESI:
f continua in D, aperto connesso;
per ogni curva chiusa semplice regolare a tratti in D l'integrale è nullo
TESI:
f è analitica in D
ULTIMI TEOREMI
DISUGUAGLIANZA DI CAUCHY
TEOREMA DI LIOUVILLE
IPOTESI:
f intera e limitata in C
TESI:
f è costante in C
TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA
Per ogni polinomio Pn(z) a coefficienti complessi di grado n >= 1 esiste almeno un punto z0 in cui Pn si annulla.