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Integración múltiple - Coggle Diagram
Integración múltiple
Integrales dobles
Definición 1
Se dice que f es integrable sobre el rectángulo D y tiene integral doble
si para todo número positivo existe un número d que depende de tal que
se cumple para toda partición P de D que cumpla Pad y para todas las elecciones de
los puntos (x
ij , y
ij ) de los subrectángulos de P.
Definición 2
Si f (x, y) está definida en el dominio acotado D, sea fˆ la extensión de f que vale cero en
todo el exterior de D:
Si D es un dominio acotado, entonces estará incluido en algún rectángulo R con lados paralelos a los ejes coordenados. Si fˆ es integrable en R, se dice que f es integrable en D, y
se define la integral doble de f en D como
Porpiedades
Area de un dominio
Integrales como representacion de volumenes
Si f (x, y)n0 en D, entonces
Si f (x, y)m0 en D, entonces
Dependencia lineal con el integrando
Las desigualdades se conservan Si f (x, y)mg(x, y) en D
La desigualdad del triángulo
Aditividad de dominios: Si D1, D2, ..., Dk son dominios no solapados en cada uno de
los cuales f es integrable, entonces f en la unión D%D1éD2éñéDk
Iteración de integrales dobles en coordenadas cartesianas
Definición
La existencia de la integral doble :: D f (x, y) dA depende de f y del dominio D. Como veremos,
el cálculo de integrales dobles es más sencillo cuando el dominio de integración es de tipo simple
Se dice que el dominio D en el plano xy es simple en y si está acotado por dos rectas verticales x=a y x=b y por dos gráficas continuas y=c(x) e y=d(x) entre esas rectas Las rectas paralelas al eje y cortan (si lo hacen) a un dominio simple en y en un intervalo (que puede ser un solo punto). De forma similar, D es un dominio simple en x si está acotado por rectas horizontales y%c e y%d y por dos gráficas continuas x%a(y) y x%b(y) entre esas rectas (véase la Figura 14.11). Muchos dominios sobre los que hemos calculado integrales
Iteración de integrales dobles
Si f (x, y) es continua en el dominio D, acotado y simple en y, dado por amxmb y
c(x)mymd(x), entonces
De forma semejante, si f es continua en el dominio D, acotado y simple en x, dado por
cmymd y a(y)mxmb(y), entonces
Integrales impropias y un teorema del valor medio
Definición
A efectos de simplificación, en la definición de integral doble dada en la Sección 14.1 exigimos
que el dominio D fuera un conjunto acotado y que el integrando f fuera acotado en D. Como en
el caso de una sola variable, pueden aparecer integrales dobles impropias si el dominio de integración
no está acotado o si el integrando no está acotado cerca de un punto del dominio o de su
frontera.
Integrales impropias de funciones positivas
Una integral impropia de una función f que cumple f (x, y)n0 en su dominio D, o bien existe
(es decir, converge a un valor finito), o bien es infinita (diverge a infinito). La convergencia o
divergencia de integrales dobles impropias de funciones no negativas se puede determinar iterando
y determinando la convergencia o divergencia de las integrales impropias que resultan.
Un Teorema del Valor Medio para integrales dobles
Si la función f (x, y) es continua en un conjunto D cerrado, acotado y conexo en el plano
xy, entonces existe un punto (x0, y0) en D tal que
Integrales dobles en coordenadas polares
Definición
En muchas aplicaciones de las integrales dobles, el dominio de integración, la función integrando
o ambos se pueden expresar de forma más sencilla empleando coordenadas polares en lugar
de coordenadas cartesianas. Recuérdese que un punto P con coordenadas cartesianas (x, y) se
puede expresar también mediante sus coordenadas polares [r, h], siendo r la distancia desde P al
origen O, y h el ángulo que OP forma con la dirección positiva del eje x (los ángulos h positivos
se miden en sentido contrario al de las agujas del reloj). Las coordenadas polares y cartesianas
de P se relacionan mediante las transformaciones
Fórmula de cambio de variables en integrales dobles
Sea x%x(u, v), y%y(u, v) una transformación uno a uno de un dominio S en el plano uv
en un dominio D en el plano xy. Supongamos que las funciones x e y, y sus derivadas parciales
primeras con respecto a u y v, son continuas en S. Si f (x, y) es integrable en D, y si
g(u, v)%f (x(u, v), y(u, v)), entonces g es integrable en S y
Integrales triples
Definición
Ahora que ya sabemos cómo extender la integración definida a dominios bidimensionales, la extensión
a dominios de tres (o más) dimensiones es directa. Dada una función acotada f (x, y, z)
definida en una caja rectangular B (x0mxmx1, y0mymy1, z0mzmz1), la integral triple de f
en B,
se puede definir como un límite adecuado de sumas de Riemann correspondientes a particiones
de B en subcajas utilizando planos paralelos a cada uno de los planos coordenados. Omitiremos
los detalles. Las integrales triples en dominios más generales se definen extendiendo la función
para que sea cero fuera del dominio e integrando en una caja rectangular que contenga al dominio.
Todas las propiedades de las integrales dobles mencionadas en la Sección 14.1 tienen sus
propiedades análogas para integrales triples. En particular, una función continua es integrable en
un dominio cerrado y acotado. Si f (x, y, z)%1 en el dominio D, entonces la integral triple da el
volumen de D:
Masa =
Cambio de variables en integrales triples
Definición
La fórmula del cambio de variables para integrales dobles se puede extender a integrales triples
(y de orden superior). Consideremos la transformación
donde x, y y z tienen derivadas parciales primeras continuas con respecto a u, v y w. Cerca de
cualquier punto donde el jacobiano L(x, y, z)/L(u, v, w) sea distinto de cero, la transformación
escala los elementos de volumen de acuerdo con la fórmula
dV=
Por tanto, si la transformación es uno a uno de un dominio S en el espacio uvw en un dominio D
en el espacio xyz, y si
g(u, v, w)=f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))
Aplicaciones de las integrales múltiples
Definición
Cuando expresamos el volumen V de una región R en el espacio tridimensional mediante una
integral,
estamos considerando V como una «suma» de infinitos elementos infinitesimales de volumen, es
decir, como el límite de la suma de volúmenes de subregiones no solapadas cada vez más pequeñas
en las que subdividimos R. Esta idea de representar mediante integrales las sumas de elementos
infinitesimales de magnitudes tiene muchas aplicaciones.
Por ejemplo, si un cuerpo rígido de densidad constante d g/cm3 ocupa un volumen V cm3,
entonces su masa es m%dV g. Si la densidad no es constante sino que varía de forma continua
en la región R del espacio tridimensional ocupada por el cuerpo rígido, es decir, d%d(x, y, z),
podemos considerar todavía que la densidad será constante en un elemento infinitesimal de R
cuyo volumen sea dV. La masa de este elemento es, por tanto, dm%d(x, y, z) dV, y la masa del
cuerpo completo se calcula integrando estos elementos de masa en R:
