Se dice que f es integrable sobre el rectángulo D y tiene integral doble

si para todo número positivo
existe un número d que depende de
tal que

se cumple para toda partición P de D que cumpla
P
ad y para todas las elecciones de
los puntos (xij , yij ) de los subrectángulos de P.

Si f (x, y) está definida en el dominio acotado D, sea fˆ la extensión de f que vale cero en
todo el exterior de D:

Si D es un dominio acotado, entonces estará incluido en algún rectángulo R con lados paralelos a los ejes coordenados. Si fˆ es integrable en R, se dice que f es integrable en D, y
se define la integral doble de f en D como

Area de un dominio

Si f (x, y)n0 en D, entonces

Si f (x, y)m0 en D, entonces

Las desigualdades se conservan Si f (x, y)mg(x, y) en D

Aditividad de dominios: Si D1, D2, ..., Dk son dominios no solapados en cada uno de
los cuales f es integrable, entonces f en la unión D%D1éD2éñéDk

La existencia de la integral doble :: D f (x, y) dA depende de f y del dominio D. Como veremos,

el cálculo de integrales dobles es más sencillo cuando el dominio de integración es de tipo simple

Se dice que el dominio D en el plano xy es simple en y si está acotado por dos rectas verticales x=a y x=b y por dos gráficas continuas y=c(x) e y=d(x) entre esas rectas Las rectas paralelas al eje y cortan (si lo hacen) a un dominio simple en y en un intervalo (que puede ser un solo punto). De forma similar, D es un dominio simple en x si está acotado por rectas horizontales y%c e y%d y por dos gráficas continuas x%a(y) y x%b(y) entre esas rectas (véase la Figura 14.11). Muchos dominios sobre los que hemos calculado integrales

A efectos de simplificación, en la definición de integral doble dada en la Sección 14.1 exigimos

que el dominio D fuera un conjunto acotado y que el integrando f fuera acotado en D. Como en

el caso de una sola variable, pueden aparecer integrales dobles impropias si el dominio de integración

no está acotado o si el integrando no está acotado cerca de un punto del dominio o de su

Una integral impropia de una función f que cumple f (x, y)n0 en su dominio D, o bien existe

(es decir, converge a un valor finito), o bien es infinita (diverge a infinito). La convergencia o

divergencia de integrales dobles impropias de funciones no negativas se puede determinar iterando

y determinando la convergencia o divergencia de las integrales impropias que resultan.

En muchas aplicaciones de las integrales dobles, el dominio de integración, la función integrando

o ambos se pueden expresar de forma más sencilla empleando coordenadas polares en lugar

de coordenadas cartesianas. Recuérdese que un punto P con coordenadas cartesianas (x, y) se

puede expresar también mediante sus coordenadas polares [r, h], siendo r la distancia desde P al

origen O, y h el ángulo que OP forma con la dirección positiva del eje x (los ángulos h positivos

se miden en sentido contrario al de las agujas del reloj). Las coordenadas polares y cartesianas

de P se relacionan mediante las transformaciones

Sea x%x(u, v), y%y(u, v) una transformación uno a uno de un dominio S en el plano uv

en un dominio D en el plano xy. Supongamos que las funciones x e y, y sus derivadas parciales

primeras con respecto a u y v, son continuas en S. Si f (x, y) es integrable en D, y si

g(u, v)%f (x(u, v), y(u, v)), entonces g es integrable en S y

Ahora que ya sabemos cómo extender la integración definida a dominios bidimensionales, la extensión

a dominios de tres (o más) dimensiones es directa. Dada una función acotada f (x, y, z)

definida en una caja rectangular B (x0mxmx1, y0mymy1, z0mzmz1), la integral triple de f

se puede definir como un límite adecuado de sumas de Riemann correspondientes a particiones

de B en subcajas utilizando planos paralelos a cada uno de los planos coordenados. Omitiremos

los detalles. Las integrales triples en dominios más generales se definen extendiendo la función

para que sea cero fuera del dominio e integrando en una caja rectangular que contenga al dominio.

Todas las propiedades de las integrales dobles mencionadas en la Sección 14.1 tienen sus

propiedades análogas para integrales triples. En particular, una función continua es integrable en

un dominio cerrado y acotado. Si f (x, y, z)%1 en el dominio D, entonces la integral triple da el

Masa =

donde x, y y z tienen derivadas parciales primeras continuas con respecto a u, v y w. Cerca de

cualquier punto donde el jacobiano L(x, y, z)/L(u, v, w) sea distinto de cero, la transformación

dV=

estamos considerando V como una «suma» de infinitos elementos infinitesimales de volumen, es

decir, como el límite de la suma de volúmenes de subregiones no solapadas cada vez más pequeñas

en las que subdividimos R. Esta idea de representar mediante integrales las sumas de elementos

infinitesimales de magnitudes tiene muchas aplicaciones.

Por ejemplo, si un cuerpo rígido de densidad constante d g/cm3 ocupa un volumen V cm3,

entonces su masa es m%dV g. Si la densidad no es constante sino que varía de forma continua

en la región R del espacio tridimensional ocupada por el cuerpo rígido, es decir, d%d(x, y, z),

podemos considerar todavía que la densidad será constante en un elemento infinitesimal de R

cuyo volumen sea dV. La masa de este elemento es, por tanto, dm%d(x, y, z) dV, y la masa del