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Sottospazi - Coggle Diagram
Sottospazi
Immagine di una matrice
Il sottoinsieme di \(\mathbb{R}^m\)
\(Im(A) = \{y \in \mathbb{R}^m | \exists x \in \mathbb{R}^n \ni' y = Ax\}\)
Stabile rispettto le leggi di composizione di V
sottospazio generato dalle colonne di A.
Prodotto Ax generica combinazione lineare delle colonne di A.
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Sottospazio ortogonale
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Per stabilire a appartenenza a sottospazio ortogonale basta fare test di ortogonalità
\(x \in V^{\perp} \Leftrightarrow A^Tx = 0\)
Dimensione \(V^{\perp}\)
V ha dimensione k, quindi il rango di A sarà uguale a quello della matrice trasposta, e di conseguenza sarà uguale alla dimensione dello spazio.
Dire che \(x \in V^{\perp}\) vuol dire che \(A^T x = 0\)
Teorema Rouché-Capelli, sistema ammette (infinito elevato al numero di incognite diminuito del rango della trasposta ) soluzioni.
Dunque, \(dim(V^{\perp} = n-k = n- dim(V)\)
Definizione
V spazio vettoriale in sono presenti le leggi di composizione \(+,\cdot\)
S spazio incluso in V
S si dirà sottospazio di V se anche al suo interno saranno soddisfatte le due leggi di composizione.
Sottospazio nullo
\(\{S\} = 0\), sottoinsieme ridotto a elemento nullo è un sottospazio
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Somma diretta
V,W sottospazi
\(\mathbb{R}^n = V \oplus W\)
Secondo le condizioni:
\(V \cap W = \{0\}\)
\(V + W = \mathbb{R}^n\)
ogni elemento x appartenente a \(\mathbb{R}^n\) rappresentato univocamente come somma di un elemento di V e W
Di conseguenza \(\mathbb{R}^n = V \oplus V^{\perp}\)