Sottospazi

sottospazio generato dalle colonne di A.

Prodotto Ax generica combinazione lineare delle colonne di A.

Definizione

V spazio vettoriale in sono presenti le leggi di composizione $+,\cdot$
S spazio incluso in V

S si dirà sottospazio di V se anche al suo interno saranno soddisfatte le due leggi di composizione.

Sottospazio nullo

$\{S\} = 0$, sottoinsieme ridotto a elemento nullo è un sottospazio

Sottospazio generato da un insieme di elementi di V

dati k elementi di V e l'insieme S formato dalle combinazioni lineari degli elementi

$S = \{\sum_{i=1}^k \alpha_iv_i \ \text{al variare di } \alpha_i \in \mathbb{R}$

Risulta stabile rispetto alle due leggi di composizione di V, e viene denominato span.

I vettori $v_k$ da cui è costituito S rappresentano un sistema di generatori per S stesso.

Se i vettori linearmente dipendenti, costituiranno una base per S

Nucleo di un'applicazione lineare

Matrice A riguardata come applicazione da $\mathbb{R}^n$ in $\mathbb{R}^m$

$A:= x \in \mathbb{R}^n \rightarrow y = Ax \in \mathbb{R}^m$

Risulta lineare

Sottoinsieme cosi nominato

$ker(A) = \{x \in \mathbb{R}^n | Ax = 0\} $

risulta stabile rispetto alle leggi di composizione $+,\cdot \implies$ sottospazio di $\mathbb{R}^n$

$ker(A)$ = nucleo di A

Immagine di una matrice

Il sottoinsieme di $\mathbb{R}^m$

$Im(A) = \{y \in \mathbb{R}^m | \exists x \in \mathbb{R}^n \ni' y = Ax\}$

Stabile rispettto le leggi di composizione di V

sottospazio generato dalle colonne di A.

Prodotto Ax generica combinazione lineare delle colonne di A.

ALT DEF RANGO

$rank(A) = dim(Im(A)) \equiv$ numero di colonne linearmente indipendenti di A

Sottospazio ortogonale

vettori si dicono ortogonali se il prodotto scalare è nullo

V sottospazio di $\mathbb{R}^n$, $\{v_1,\dots,v_k$ base.

sottoinsieme $V^{\perp} = \{x \in \mathbb{R}^n | x^Tv=0, \forall v \in V\} \subset \mathbb{R}^n$ sara sottospazio ortogonale di V

Per stabilire a appartenenza a sottospazio ortogonale basta fare test di ortogonalità

$x \in V^{\perp} \Leftrightarrow A^Tx = 0$

Dimensione $V^{\perp}$

V ha dimensione k, quindi il rango di A sarà uguale a quello della matrice trasposta, e di conseguenza sarà uguale alla dimensione dello spazio.

Dire che $x \in V^{\perp}$ vuol dire che $A^T x = 0$

Teorema Rouché-Capelli, sistema ammette (infinito elevato al numero di incognite diminuito del rango della trasposta ) soluzioni.

Dunque, $dim(V^{\perp} = n-k = n- dim(V)$

Somma diretta

V,W sottospazi

$\mathbb{R}^n = V \oplus W$

Secondo le condizioni:

$V \cap W = \{0\}$
$V + W = \mathbb{R}^n$

ogni elemento x appartenente a $\mathbb{R}^n$ rappresentato univocamente come somma di un elemento di V e W

Di conseguenza $\mathbb{R}^n = V \oplus V^{\perp}$