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La scomposizione dei polinomi - Coggle Diagram
La scomposizione dei polinomi
La divisibilità dei polinomi è un concetto fondamentale per la scomposizione di un polinomio. Un polinomio P(x) è divisibile per un altro polinomio Q(x) se e solo se il resto della divisione tra P(x) e Q(x) è uguale a zero.
La divisione con resto è il metodo tradizionale di divisione dei polinomi, simile alla divisione a mano dei numeri interi. In questo metodo, si divide il polinomio dividendo per il polinomio divisore e si ottiene il quoziente e il resto. Il quoziente è un polinomio che rappresenta il risultato della divisione, mentre il resto è un polinomio di grado inferiore al divisore, che rappresenta il residuo della divisione.
La Regola di Ruffini: Per utilizzare la regola di Ruffini, si scrivono i coefficienti del polinomio P(x) in una tabella, a partire dal termine di grado massimo fino al termine di grado zero. Poi si inserisce il valore di a nella prima colonna della tabella e si inizia a calcolare il quoziente e il resto. Il quoziente si scrive nella riga inferiore della tabella, mentre il resto si scrive nella casella in basso a destra.
La scomposizione di un polinomio consiste nel trovare i fattori che lo compongono. Questo processo è importante per la risoluzione di problemi matematici e ha molte applicazioni in diversi campi, come l'analisi numerica, la teoria dei numeri e l'analisi algebrica.
Raccoglimento parziale
Si raggruppano i termini del polinomio che hanno fattori in comune e si estrae il fattore comune. Successivamente, si cerca di raccogliere i termini rimanenti in modo che abbiano un fattore comune diverso rispetto al primo gruppo. Si continua il processo fino a quando non è possibile raccogliere ulteriormente. Alla fine, il polinomio è scomposto in fattori che hanno solo alcuni termini in comune.
Raccoglimento totale
Si cerca di raggruppare i termini del polinomio che hanno fattori in comune e si estrae il fattore comune. Si continua il processo fino a quando non è possibile raccogliere ulteriormente. Alla fine, il polinomio è scomposto in fattori.
Scomposizione con Regola di Ruffini
La scomposizione di un polinomio con la Regola di Ruffini non è oggetto di molti passaggi:
-Scrivi il polinomio e il binomio x-a.
-Trovare uno zero del polinomio
-Costruisci una tabella con i coefficienti del polinomio.
-Applica la regola di Ruffini, utilizzando i coefficienti della tabella per calcolare il quoziente e il resto.
-Il quoziente, che rappresenta la scomposizione in fattori del polinomio.
Lo zero del polinomio è un valore numerico che, sostituito alla variabile del polinomio, fa assumere al polinomio il valore zero.
I prodotti notevoli
Somma per differenza: a^2-b^2= (a+b)(a-b)
Cubo di binomio: (a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
Quadrato di binomio: (a+b)^2= a^2+2ab+b^2
Quadrato di trinomio: (a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
Somma di cubi: a^2+b^2= (a+b)(a^2-2ab+b^2)
Differenza di cubi: a^2-b^2= (a-b)(a^2+2ab+b^2)
