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Bases del espacio vectorial R3, Extender un conjunto para que forme base.…
Bases del espacio vectorial R3
Base de ℜ 3 distinta de la canónica: (1,0,0), (1,1,0), (0,2,-3).
Son sistema generador de ℜ n porque todo vector (a1,a2,. . . ,an)∈ ℜ n se puede expresar como combinación lineal de ellos: (a1,a2,. . . ,an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1)
Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
La base canónica (o base natural, o base estándar) de ℜ n:
(a,b,c)= α (1,0,0)+ (1,1,0)+γ (0,2,-3)
Son sistema generador de ℜ 3 porque cualquier vector (a,b,c) se puede poner como combinación lineal de ellos. En efecto, dado (a,b,c), buscamos α , ,γ que satisfaganβ
Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
(1,2,3), (4,5,6), (7,8,9) en ℜ 3 no forman base porque no son linealmente independientes
(su determinante es nulo).
Base de un subespacio. En ℜ 3, consideremos el subespacio S= plano XY. Veamos que los vectores (3,2,0) , (1,–1,0) forman una base de S.
Son un sistema generador de S: Dado un vector genérico de S, de la forma (a,b,0), lo
podemos poner como combinación lineal de (3,2,0), (1,–1,0). Para ello, buscamos α, b que cumplan:
Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro.
Reducir un conjunto para que forme base. ¿Es (2,0,0), (0,3,0), (4,1,0) base de
S=plano XY de ℜ 3 ?
Sí. Estos tres vectores tienen rango 2, por tanto uno de ellos es combinación lineal de los
demás y puede suprimirse: por ejemplo suprimimos (4,1,0), ya que al quitarlo no baja el
rango. (También podría quitarse cualquiera de los otros dos).
Son un sistema generador de S, pero no son independientes (su determinante es nulo).
Por tanto no son base de S. ¿Puede obtenerse una base de S de algún modo?.
Los restantes vectores (2,0,0), (0,3,0) siguen generando el mismo subespacio S y son
independientes. Son por tanto base de S.
Extender un conjunto para que forme base. ¿Es (1,0,2), (1,0,–1) base de ℜ 3?
Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro.
Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro.
Pero no son un sistema generador de ℜ 3, porque no es cierto que todo vector de ℜ 3 pueda ponerse como combinación lineal de ellos. Por ejemplo, el (0,1,0) no se puede poner (resulta un sistema incompatible)
Por tanto no son base de ℜ 3. ¿Puede obtenerse una base de ℜ 3 de algún modo?
Sí, añadiendo algún otro vector de manera que siga siendo independiente de los anteriores, por ejemplo (0,1,0). Así el conjunto (1,0,2), (1,0,–1), (0,1,0) es linealmente independiente, y genera ℜ 3, por tanto es base de ℜ 3.
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