Perque una estrella en EHS sigui dinàmicament estable E < 0 (lligada) \(\rightarrow \gamma >4/3\)

Es mante sempre exepte en cas de procesos dinàmics dominants:

• Injecció ràpida d'energia que fagi expandir l'estrella(fase final evolució estelar)
• Un refredament ràpid pot portar a una contracció de l'estrella.

Amb la conservació del moment i la gravetat
tenim 2 equacions per a 3 incognites:

necesitem equacions d'estat per tancar el sistema

EQUACIONS BAROTRÒPIQUES

• Equacions de estat del tipus \(\rho=\rho(P) \)

  
  

• Exemple: Politròpiques

  
  

• However la densitat normalment depèn de la temperatura i no es vàlida aquesta aproximació

Es un estat estacionari on la energia radiada de la superficie es perd a la mateixa velocitat que es produeix al seu interior per reaccions termonuclears.

En aquest estat l'estrella ni es contrau ni s'expandeix, manté una temperatura interna constant regulada per las reaccions termonuclears.

Utilitzarem l'equació de gasideal:

• Funciona als interiors estelars
• Les interaccions electromànetiques son
  menyspreables respecte l'energia d'agitació tèrmica
• El gas a l'interior estelar està completament ionitzat i es comporta com un gas ideal
  \(T>10^5 K \, i \, <\rho>\approx10^3 kgm^{-3}
  E=3kT/2\)
• L'energia cinètica mitjana es capaç d'ionitzar completament les particules als interiors estelars.
  

Les estrelles de la MS es troben en equilibri tèrmic mentre les reaccions nuclears supleixin l'energia suficient

Gas de fotons o de partícules extremadament relativistes \(\gamma = 4/3\)

Marginalment estable: es pot expandir o contraure de forma indefinida sense cap canvi en l'energia total, però un petit canvi pot fer-li anar cap a la inestabilitat.
En particular, el cas crític \(\gamma = 4/3\) es especialment fàcil que es torni inestable

Situacions de inestabilitat

• Si una regió de l'estrella s'ionitza o per la producció de parells e+ i e- \(\Rightarrow\) Inestabilitats i oscil·lacions.
• Com el camp de radiació depen fortament amb la massa, i el gas de fotons té \(\gamma = 4/3 \Rightarrow\) Això ens dona un límit superior de masses de les estrelles

Temps característic d'expansió
\(\tau_{exp}\approx\left(\frac{R}{c_s}\right)\)
on \(c_s\) és la velocitat del só

Si Pressió\(\approx\)Gravetat

• \(\tau_{ff}\approx\tau_{exp}\approx\tau_d\)
• Per al sol \(\tau_d\approx 1800s\)
• Per a una gegant vermella \(\tau_d \approx 18 d\)
• Per a una nana blanca \(\tau_d\approx 5 s\)

La font d'energia que compensa les pèrdues seran les reaccions termonuclears. Quan les pèrdues superen la generació l'estrella consumeix la seva energia potencial gravitatòria començant les etapes de contracció.

El temps tèrmic es el que trigaria el sol a radiar tota la seva energia tèrmica si les reaccions nuclears paressin de cop

GAS IDEAL

\(\tau_{th}\approx -\frac{\Omega}{2L}\approx \frac{1}{2}q\frac{GM^2}{RL}\approx 1.0 10^7\left(\frac{M}{M_s}\right)^2\left(\frac{R}{R_s}\right)^{-1}\left(\frac{L}{L_s}\right)^{-1}\)

Les estrelles estan:

• En equilibri tèrmic (\(E = const.\) o \(L = L_{nuc}\))
• No en equilibri termodinàmic total perquè no són sistemes aïllats
• Estan en equilibri termodinàmic local (\(T_{gas}(r)=T_{rad}(r)=T(r)\)).

Dues regions estel·lars relativament separades tindran temperatures diferents i es podran considerar termodinàmicament aïllades, ja que el recorregut lliure mitjà de les partícules és molt més petit que la separació entre elles i podrem dir que existeix ETL

Pressió de radiació
\(P_{rad}=\frac{1}{3}aT^4, \;\;a=\frac{8\pi^5k^4}{15h^3c^3}\)

si \(P_{rad} \gg P_{gas}\Rightarrow \beta \approx 0\)

\(P =\frac{R}{\beta\mu} \rho T =\frac{aT^4}{3(1-\beta)}\)

Temps característic en caiguda lliure
\(\tau_{ff}\approx \left( \frac{R^3}{GM}\right)^{\frac{1}{2}} = 1.6*10^3\left(\frac{M}{M_s}\right)^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{R}{R_s}\right)^{\frac{3}{2}}\)

Massa degenerada \(\rightarrow\) Es tracta d'un estat amb molts fermions on tots els nivells de baixes energia estan ocupats mentre que els de altes energies no.

Degeneració \(\rightarrow\) El principi d'exclusió de Paulio ens diu que en un sistema de fermions (spin semi-enter), cada un ha d'estar en un estat quàntic diferent, per tant, el sistema de mínima energia resulta d'omplir dels nivells més baixos d'energia als més alts.

\(p_F = h \left(\frac{3}{8\pi}n_e\right)^{1/3}\) \(\rightarrow_{\epsilon = p^2/2m} \epsilon_F = \frac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2n_e)^{2/3}\)

La distribució dels moments pels fermions en ETL serà la multiplicació de \(f_{FD}\) i el màx nombre d'estats quàntics.

\(T=0 \Rightarrow \psi = \frac{\mu}{kT}\gg0, \; f_{FD}=1\)
\(\uparrow T , \; \downarrow \rho \Rightarrow \psi = \frac{\mu}{kT}\ll0, \; f_{FD}\approx 0\rightarrow\) Recuperem la distribució MB

El principi d'exclusió de Pauli significa que els electrons poden exercir una major pressió que la que es prediu amb la distribució MB clàssica.

\(n_e(p) = \frac{8\pi p^2}{h^3}, \;\; \text{for} \;\; p\le p_F\)
\(n_e(p) =0, \;\; \text{for} \;\;p > p_F\)

Això implica que:

• \(\tau_{nuc}>>\tau_{th}>>\tau_{ff}\)

  
  

• Es poden simplicar moltes equacions de estructura estellar

Com el gruix de la atmosfera
es molt mes petit que el radi de
l'estrella podem considerar la gravetat constant

\(T_{ef}\) i \(g_s\) son constants

La pressió dee degeneració deguda als neutrons explica l'existència de les estrelles de neutrons.

Definim l'altura patró d'escala de pressió

\(H_p = \frac{RT}{\mu g_s}=-\frac{P}{(\partial P/\partial r)}=-\frac{\partial r}{\partial ln P}=\frac{P}{\rho g}\)

La transició de no relativista a relativista es suau i la densitat de transició és:
\(\rho_{tr} \approx \mu_e m_u \frac{8\pi}{3}\left(\frac{m_ec}{h}\right)^3\)

Els polítrops son fluids baròtròpics ja que la pressió nomes depen de la densitat

Aquests segueixen una equació del tipus:

\(P=K\rho^\delta=K\rho^{\frac{n+1}{n}}\)

On K,\(\delta \) i n son constants que només depènen de la entropia del sistema

Per \(T_e \ne 0\), la pressió de degeneració dels electrons té una lleugera dependencia de la temperatura(El desarrollo matemàtico no entra)

\(\frac{T}{\rho^{2/3}}=\zeta\ll D= \frac{h^2}{3m_ek}\left[\left(\frac{3\pi^2}{m_H}\right)\left(\frac{Z}{A}\right)\right]^{2/3}\)

• Si un procés convectiu es suficientment ràpid es deriva una llei de tipus politrópic
• Per a alguns models \(\delta \) no te signifcat físic
  només compleix amb les observacions

L'estrella aguanta per la pressió de electrons totalment degenerats

Equacions estat completament politròpiques

• \(P=K_1 \rho^{\frac{5}{3}}==> \delta = 5/3 ==> n=3/2\) cas no relativista
• \(P=K_2\rho^{\frac{4}{3}}==>\delta=4/3 ==> n=3\) cas relativista

Completament dominades pel gas degenerat d'electrons

Es defineixen com \(T=T_0=constant\)
Son núvols mol·leculars densos a l'inici del col·lapse

Equació d'estat específica
\(P=\frac{R}{\mu}\rho T=K\rho ==> K=\frac{R}{\mu}T_0 ==> \delta = 1 ==> n=\infty\)

En la contracció del nucli d'una estrella la densitat pot augmentar tant que els electrons es degeneren i exerceixen un pressió extra que sosté l'estrella contra la gravetat independentment de la temperatura. Això vol dir que una estrella degenerada no ha d'estar calenta per estar en EHS.

Exemples:

• Protoestrelles
• Cami de Hayashi
• Procesos adiabàtics

Equació d'estat per estrelles convectives

\(PV^{\gamma}=cte==> P=K\rho^{\gamma} ==> \delta=\gamma=\frac{c_p}{c_v}=\frac{5}{3} ==> n=3/2 \)

Existència de massa màxima límit:
Massa de Chandrasekhar

Com la pressió no depen de la temperatura quan comença la ignició termonuclear i s'escalfa l'estrella, aquest escalfament no es controla per expansió i, per tant l'alliberació d'energia s'accentua.
Degut a la pujada de temperatura hi ha un moment on els electrons perden la seva degeneració i es passen a comportar com un Gas ideal i això ve acompanyat d'una violenta expansió

El valor de K depèn de la massa de l'estrella
i per tant es un paràmetre que s'ha de fixar amb
observacions ja que no queda fixat amb l'equació d'estat

En una estrella estable, les pèrdues d'energia s'han de compensar amb la generació:
\(L_*=\int^{R}_{0}{4 \pi r^2\rho \epsilon(r) dr}=\int^{M}_{0}{\epsilon(m) dm}\)

Aquesta relació ens dona la dependencia entre el gradient de lluminositat en les diferents ganancies i pèrdues d'energia

Aquesta equació es deriven de EHS en euleria:

• \(\frac{dP}{dr}=-G\frac{m}{r^2}\rho==>m=-\frac{r^2}{G\rho}\frac{dP}{dr}\)
• \(\frac{dm}{dr}=4\pi r^2\rho\)
• \(P=K\rho^{\delta}\)
  
  

I si ho ajuntem tot resulta:

\(\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(\frac{Kr^2}{\rho}\delta \rho^{\delta-1}\frac{d\rho}{dr}\right)=-4\pi G\rho\)

Substituïnt en aquesta equació les variables anteriors obtindrem l'equació adimensional de L-E

• n= 0 representa una esfera de gas homogènia de densitat constant
• estructura incompressible no realista

Com que els elements lleugers són molt més abundants es conclou que la fusió nuclear és la font principal d'energia estel·lar.

Radi:
\(R\propto \rho_c^{\frac{1-n}{2n}}\)

Massa:
\(m\propto r^3 \left(-\frac{1}{\xi}\frac{d\phi_n}{d\xi}\right)\)
\(M\propto \rho_c R^3\)

Densitat:
\(\frac{\rho_c}{\bar{\rho}}=\frac{1}{3·\left(-\frac{1}{\xi}\frac{d\phi_n}{d\xi}\right)_{\xi_1}}\)
On \(\bar{\rho}\) es la densitat mitjana

Convecció \(\rightarrow\) .Moviments de masses massives de gas. El procès més eficient de transport de la energia i per la barreja del gas estelar

Llavors això significaria que si R tendeix 0 la massa tendeix infinit. Pero si la massa creix la densitat creix arribant al punt en que els electrons es tornen relativistes i n passa de ser n=3/2 a n=3
Quan n=3 la massa no canvia en variar la densitat central

Massa limit de Chandrasekhar

• Aquesta es la massa màxima d'una esfera de gas
  d'electrons degenerats en EHS.
• No hi ha nanes blanques més massives que \(M_{ch}\)
• \(M_{ch}=\frac{5.826}{\mu_e^2}M_s=1.45M_s\)

Els fotons es mouen més fàcilment a través del gradient de temperatura, per tant quan coexisteixen els dos processos acostumarà a domina el transport per radiació sobre el de conducció

Es caracteritza per \(\kappa\), el coeficient específic d'opacitat (secció eficaç d'absorció per unitat de massa)

L'energia radiada per la superfície de la estrella resulta de reaccions nuclears que van tenir lloc fa milions d'anys al centre.

S'ha d'avaluar a capa, ja que hi ha casos on el transport radiatiu és suficient per evacuar l'energia produïda a l'interior estel·lar i altres on no serà suficient: criteri d'estabilitat

\(\kappa_{\nu} = \sum_{i}{X_i \kappa_{\nu,i}}\) això vol dir que depen de la composició del gas i es calcula a partir de les opacitats monocromàtiques globals.

S'utilitza per l'equació del transport radiatiu pero no es massa precisa

• Secció transversal de Thomson d'un electro \(\rightarrow \frac{8\pi}{3}\left(\frac{e^2}{m_e c^2}\right)^2\)
• Coeficient d'opacitat per dispersió de electrons\(\rightarrow \kappa_{es}=\frac{\sigma_e}{\mu_em_u}\)
• Coeficient d'opacitat per absorció free-free \(\rightarrow \kappa_{ff}\approx 3.8\cdot 10^{22} (1+X)\rho T^{-7/2}\)
• Coeficient d'opacitat per absorció bound-free \(\rightarrow \kappa_{bf}\approx 4.3\cdot 10^{25} (1+X)Z\rho T^{-7/2}\)

Com la difusió radiativa però amb particules de gas.

Es pot donar que \(\lambda_{part} > \lambda_{fot}\), quan \(\rho \uparrow \text{ i } T \downarrow \text{, } \kappa_{cond}\) es torna molt petita (Gas degenerat d'electron, WD)

L'opacitat vindrà dominada per min(\(\kappa_{cond}, \kappa_{rad}\))

Derivada termodinàmica que descriu els canvis tèrmics de un element de massa en un procès adiabàtic. Només necessitem l'equació d'estat per calcular-ho.

Quan es viola el criteri bombolles de gas (per una perturbació) que són lleugerament més calentes que el seu voltant i van cap amunt i transporten calor cap a dalt fins que es dissolen. El contrari passarà si es formen bombolles més fredes.

Això vol dir el flux de bombolles cap amunt i cap abaix transporten calor en direcció ascendent i creen un flux de calor, però no de massa

Imposa un límit de massa màxima ~100\(M_{\odot}\) que poden tenir les estrelles, ja que pot aturar el col·lapse gravitatori del núvol molecular protoestel·lar

A densitats molt altes, és a dir, energies altes pot ocorrer la desintegració:
\(e^- + p ==> n+\nu_e\)
Despres de això la pressió de degeneració no suporta el collapse i s'acaba transformant en una massa de neutrons. El collapse s'atura amb la degeneració dels neutrons.

Casos en interiors estelars on es pot produir convecció \(P/T^4 = \)const.:

• Valors grans de \(\kappa\) (regions opaques). A les capes exteriors del Sol i altres estrelles més fredes, ja que l'opacitat augmenta amb la disminució de la temperatura.
• Regions on tenim valors grans de \(L_r/m\), per exemple, cap al centre de l'estrella \(L_r/m = \epsilon_{nuc}\). Això vol dir que estrelles amb un alt ritme de producció de energia nuclear tindran centres convectius.
• Valors petits de \(\nabla_{ad}\) es dona en zones a baixes temperatures on \(c_p\approx c_v, \rightarrow \gamma \approx 1\). Quan augmenta \(c_p\) es fa gran, el \(\nabla_{rad}\) es fa petit tot i que \(\kappa\) no sigui gaire gran, per tant el gas no admet grans gradients radiatius. Això suposa que estrelles de qualsevol massa tenen una superfície poc profunda convectiva a temperatures on l'H i l'He estan ionitzats

El límit superior de massa es dificil de trobar ja que:

• Ultra dens material
• Mix de neutrons relativistes i no relatives i
  electrons relativistes

El maxim de massa es troba simulant models:

• Si l'estrella no gira la massa límit es \(2.2 M_s\)
• SI l'estrella gira el límit es \(3.0 M_s\)

• Les estrelles de neutrons tenen
  una densitat de \(10^{18}kg m^{-3}\)
• La velocitat de escape a la superficie d'una estrella de neutrons es \(v_{esc}\approx 0.5c\)

Si \(\beta\) es constant:
\(1-\beta = constant=\frac{P_{rad}}{P}=\frac{aT^4}{3P}\)
Per tant, a tota l'estrella:
\(P\propto T^4\)

El transport convectiu és un procès molt eficient per la transferencia de calor.

Bombolles de gas viatjen amunt/abaix a una distancia radial \(l_m\), aquesta serà la distància de longitud de barreja, després de la qual es dissoldran en el seu voltant. Un cop es dissol allibera/absorbeix el seu excès/deficit de calor al seu voltant.

Normalmente es parametritza localment \(l_m\) amb \(H_p\) com:
\(l_m=\alpha H_p, \;\; \alpha \approx 1-2\)

Funciona bè, però no es consistent o raonable a per la teoria de la convecció estelar. No descriu bé, per exemple, el transport de calor a prop de la superfície de la estrella

Als interior profunds de l'estrella, es adequat aproximar la convecció als gradients de temperatura adiabàtics.

\(\beta=\frac{P_{gas}}{P}=constant\), n=3

• A = massa del nucli
• Z = Nombre atòmic
• N = nombre de neutrons

Aquesta es la diferència entre la massa total del nucli i la massa dels nucleons que el formen per la velocitat de lallum al quadrat.
\(E_B(Z,N)=\Delta mc^2\)

Moltes RN poden succeir simultaneament en el interior estelar. Però a l'hora de calcular l'estructura i l'evolució d'una estrella es simplifica la situació perquè:

• Dependencia molt forta de la temperatura al ritme de las RN i la sensibilidad de la barrera de Coulomb implica que les fusions nuclears de diferents fonts estan ben separades per les diferencies de temperatura. Això vol dir que la evolució d'una estrella passa per diferents cicles de crema nuclear
• Per cada cicle només algunes RN contribueixen a la producció d'energia de forma significativa o causen canvis significatius a la composició general.
• A vegades, una de las reaccions nuclears es la més lenta i aquesta determina el ritme de toda la cadena (bottleneck reaction), només cal tenir en compte el ritme d'aquesta reacció

Es el treball necesari per separar una distància infinita els nucleons en contra de la seva atracció mutua.
Mesura com d'units estan els nucleons.

Es important la energia nuclear per nucleo:
ja que es la eneria necesaria per remoure un nucleo del nucli

Variació de \(E_B/A\)

• Augmenta si augmentem A fins a A 56 (Ferro), i despres comença a disminuir
• La fusió d'hidrogen hauria de alliberar més energia que les altres
• Energia es guanya per fusió d'elements més lleugers que el ferro i per fisió d'elements més pesats del ferro

\(\text{H}\rightarrow\text{He}\) són les reaccions de fusió més importants, ja que dominen ~90% de la vida de gairebé totes les estrelles

Es conserven les quantitats següents:

• El nombre barionic, la massa atòmica
• El numero de leptons
• La càrrega
  
  

Però la suma de les masses en la NR no es conserva.
La diferència de masses es convertida en energia.

Les cadenes pp-II i pp-III dominen cada cop més sobre pp-I quan augmenta la temperatura. Tot i aixó, quan arribem a la temperatura on dominaria pp-III ja comença a dominar el cicle CNO.

La importancia relativa depen en la composició química. \((T,\rho)\)

Aquests elements actuen com a catalitzadors de reaccions de crema d'hidrogen

Quan \(T \le 1.7 \cdot 10^{7} \text{ K}, \; \; M > 1.2-1.5 M_\odot\) domina la cadena pp, i per sobre domina el cicle CNO

Secció creuada es defineix:
\(\sigma = \frac{number..of..reactions X(a,b)Y..per..segon}{flux..incident..de..particules..a}\)

En general només depen de la velocitat relativa entre la incident i la objectiva gas estel·lar nuclear.

Aquesta velocitat es mesura al centre de massa del sistema de referència de la reacció

Té dos etapes quan \(T\approx 10^8 \text{ K}\):
He + He -> Be; Be + He -> C. Les dues reaccions han d'ocorrer gairebé simultàniament

La fusió de dos nuclis d'He ens dona un Be que no es estable, però existeix una probabilitat de que Be capturi un \(\alpha\) i creï un nucli de C. Aquesta probabilitat augmenta si el nucli de C té una energia propera a les energies combinades dels He i el Be reactius

La proporció final de C i de O es incert al final de la crema de He, això es relevant a les C-O WD

El valor de l'energia centrat en la finestra d'energia on la reacció nuclear es més efficient generant energia

Crema de Neo passa abans de la d'O a \(T\approx 1.5\cdot 10^9 \text{ K}\) hi ha suficients fotons amb la suficient enerfia per trencar nuclis de Ne. Estan seguides per una captura \(\alpha\) oer un altre nucli Ne. Conseguim O i Mg bàsicament

Si fem els calculs corresponents veiem com l'energia mitja al sol no esta ni aprop de la energia necesària per superar la barrera de Coulomb.

• \( \bar{E}=1.5keV\) energia mitja dels nuclis al nucli del sol
• \(E_{Coul}\approx 1.4MeV\)
  
  

Això implicaria que no hi ha gairebé cap reacció nuclear al centre de les estrelles i com sabem això no es cert.

El Si es trenca en nuclis més lleugers i aquests capturen He i formen nuclis encara més pesats. Finalment a \(T>10^4 \text{ K}\) els nuclis més abundants són els de Fe (Ni pateix beta-desintegració i es converteix en ferro).

Degut a l'efecte tunnel la particula te possibilitat infinita de ocorrer. La probabilitat de penetrar la barrera de Coulomb incrementa amb la energia de la particula.
A l'hora, però, el numero de particules disminueix
amb l'energia ja que segueixen una maxwell-boltwan distribution.
Llavors la fusió ocorre més provablement en una finestra de valors de energia. Aquesta finestra esta centrada a una energia anomenada pic de Gamow

• Als nuclis estelars només es crea fins el Fe.
• El Bi es poden sintetizar per reaccions nuclears per neutrons lents durant les supergegants. Aquests elements pesats després s'ejecten i formen part de nous planetes i estrelles.
• Les explosions supernoves produeixen tot tipus de nuclis més pesats que els Fe, principalment per neutrons (r-process i s-process) i per protons p-process) interactuan amb els nuclis

El factor astrofísic conté tots els efectes nuclears exepte el tunnelling, las propietats nuclears intrinsiques , per exemple com ressonancies.
\(S(E)\)

La captura de neutrons no està limitada per la Barrera de Coulomb, per tant succeeixen a baixes temperatures.

• Captura de neutrons (Nuclis estables i inestables)
• Desintegracions beta (Nuclis inestables)

Considerem casos no resonants, podem assumir
\(S(E)=S_0\)

La captura de neutrons les reaccions poden anar més ràpides (r-process) o més lentes (s-process) que les desintegracions-beta rivals.

El pic de Gamow es el lloc més efficient on una reacció nuclear pot tenir lloc

Principals processos per la producció de neutrins estelars:

• Foto-neutrins: Hi ha una probabilitat que un fotó sortint es reemplaçat per una parell neutri anti-neutri Aquest procés implica un refredament significant del gas.
• Annulació per par de neutrins (\(T>5\cdot 10^9 \text{ K}\)): Fotons energètics poden crear una parella i, després una aniquilació e-/e+ on existeix una probabilitat de \(10^{-19}\) que ens doni una parella de neutri i anti-neutri.
• Plasma-neutri: En plasma dens, fotons poden crear oscilacions dels electrons. L'energia d'aquestes ones esta quantitzat en plasmons i aquests decauen en fotons, però existeix la possibilat que decaiguin en neutrins-antineutrins.
• Neutri Bremsstrahlung: és la emissió de fotons per un electró que està frenant un camp de Coulomb d'un nucli. Existeix una petita probabilitat que hi hagi emissió de neutrins que dona lloc a una disminució de la temperatura quan aquesta es baixa i la densitat es alta. Com que depen de la presència de nuclis es més eficient per elements pesats
• Procés URCA: Alguns nuclis son capaços de capturar un electro i després passar per una desintegració beta. En aquest procès tornem a les particules originals i emitim dos neutrins.
  No es gaire relevant en la majoria de condicions estelars, però ho pot ser en processos finals de la evolució d'estrelles de molt altes densitats.

Si <\(\sigma v\)> != 0 per un rang de temperatures al voltant del valor de T es pot escriure tal que:
\( <\sigma v>= <\sigma v>_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^v\)
On
\(\nu=\frac{\partial ln <\sigma v>}{\partial ln T}\propto T^{-1/3}\)

\(\nu \) disminueix amb la temperatura pero sempre >>1
Aquests temps de reacció tenen la depèndencia mes gran amb la temperatura de la física.

Aquesta forta dependencia amb la temperatura tenen molta influencia en els models estelars

<\(\sigma v\)>(T) es la probabilitat mitja de reacció per cada par de particules

Un neutri produït al interior d'una estrella normal surt sense interacció, emportar-se la seva energia

Excepció quan hi ha un col·lapse gravitacional de estrelles massives i la densitat es altísima

Tres tasts de neutrins que oscil·len i te massa

Detecció de CC (Charged Current, \(\nu_e\)), NC (neutral Current, \(\nu\)) i ES (Elastic Current, \(\nu\)) confirma que les oscil·lacions son responsables pel deficit de neutrins Solars que es mesuren

Això fa que la particula sembli que hagi guanyat un factor \(f_D\) i això impacta directament en <\(\sigma v\)>
\(f_D=exp(E_D/kT)\) on \(E_D=Z_i Z_j e^2/r_D\)
\(E_D/kT\approx 5.9·10^{-3}Z_iZ_j(\rho/T^3)^{1/2}\)

Això implica:

• Una projecció debil fa \(f_D\approx1\)(Sun, MS stars)

  
  

• Una projecció forta fa que \(E_D/kT>>1\) (Nanes blanques) aixó fa que <\(\sigma v\)> depengui basicament de la densitat. ja no dependra de T

Definim el ratio de generació d'energia per unitat de massa com:
\(\epsilon_{ij}=\frac{Q_{ij}r_{ij}}{\rho}=\frac{Q_{ij}}{(1+\delta_{ij}A_iA_jm^2_u)}\rho X_iX_j\)<\(\sigma v\)>\(_{ij}\)
Utilitzant \( <\sigma v>= <\sigma v>_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^v\)
Trobem
\(\epsilon_{ij}=K_{0,ij}X_iX_j\rho T^{\nu}\)
On K es una constant per cada reacció en específic

L'energia total nuclear obtenida de les reaccions nuclears s'obté fent la suma de totes les energies per unitat de massa. Aquesta es tota la energia generada per les RN excepte les emportades per els neutrins.

\(\left(\frac{dn_i}{dt}\right)_j=-(1+\delta_{ij})r_{ij}=-n_in_j\)<\(\sigma v\)> \(_{ij}\)

Per una RN, el temps de vida nuclear de cada nucli i que reacciona amb j (la escala temporal enque la abundancia de nclis i canvi en resultat a RN) es:
\(\tau_{i,j}=\frac{n_i}{|(dn_i/dt)_j|}=\frac{1}{n_j}<\sigma v>_{ij}\)

EL canvi mig de nombre de nlis i normalment ve determinat per varies reaccions que poden produir o consumir nuclis i
Això resulta en:
\(\frac{dn_i}{dt}=-\sum_j(1+\delta_{ij})r_{ij}+\sum_{k,l}r_{kl,i}\)

El numero de reaccions per segon a una certa velocitat es defineix com:
\(r_{ij}=\frac{1}{1+\delta_{ij}}n_in_j<\sigma v>\)

Són més fredes que les estrelles M (clasificación espectral)

Arriben a cremar Deuteri i les més massives Li, però no arriben a cremar-hidrogen modo estrella

• Les dues primeres equacions es poden resoldre separadament si suposem equacions politropiques P(\(\rho \))
• Sabent l'estructura mecanica i tèrmica podem saber la variació de la composició química
  
  

Hem de considerar les relacions:
\(P=P(\rho,T,X_i),\kappa=\kappa(\rho,T,X_i),\epsilon=\epsilon(\rho,T,X_i),s=s(\rho,T,X_i)\)

Dificils de detectar, ja que brillen poc, son fredes i emeten en IR

• El primer col·lapse d'un núvol de gas és un procès hidrodinàmic que depen de les condicions del núvol (rotació), la presència de camps magnètics interestelars, evolució química i la pèrdua d'energia per radiació.
• Un cop la proto-estrella arriba a EHS l'evolució dependrà de la massa que ha perdut o ha guanyat durant la rotació i, per el transport d'energia de l'estrella.

Núvols de gas amb \(M>M_J\) no son capaces de mantenir EHS i tenen un colapse en caiguda lliure \(\Rightarrow\) Aquest resultat es inconsistent amb el límit superior de les masses estelars.

La formació estel·lar es molt més complexa, ja que a mesura que augmenta la densitat la massa de Jean disminueix:

• El núvol es comença a fragmentar en peces més petites on la densitat es més alta, cadascuna continua col·lapsant fins que les masses del fragments més petits és \(<0.1 M_\odot\)
• Formació d'una proto-estrella L'augment de la densitat dels fragments del núvol fa que el gas es torni opac als fotons IR. La radiació atrapada dins de la part central del núvol comença a escalfar-la. Això fa que el núvol entri en EHS i el col·lapse dinàmic s'alenteix a una contracció quasi-estatica.
• En les fases iniciales la contracció hidrostàtica és gairebé completament convectiva . Per això quan comencen les reaccions nuclears les estrelles estan químicament homogènies, per la barreja de la convecció durant la contracció.

Condicions de contorn:

• \(r=0 ==>m=0 ==> L=0 \)
• \(r=R==>m=M==>P=0,T=0\)

"La estructura de una estrella en equilibri tèrmic i hidrostàtic, i la seva subsegüent evolució, esta unicament determinada per la massa i el perfil intern de la composiciño química"

• Com nomes hi ha una forma de fer una estrella amb una massa i composició química, llavors sabent la massa i la composició química de una protoestrella podem saber com lestrella evolucionarà.
• Aquest teorema no esta rigurosament probat

Camí de Hayashi: Linia gairebé vertical i constant al diagrama HR que segueixen les estrelles completament convectives per una massa en concret. (~\(3000 \text{ K } < T_{eff} < 5000 \text{ K}\))

A la regió a la dreta del camí de Hayashi no poden existir estrellas en EHS.
A la regió a la esquerra del camí de Hayashi han de tenir una regió interna radaitiva.(\(T_{eff}\) grans)

S'han de resoldre amb mètodes numèrics(exeptuant casos sencills com politropics gasos)

Es un mètode que assumeix solucions d'un tipus per desprès concretar i veure si corrobora amb les condicions que s'havien plantejat.

Es un mètode molt lent i necesita moltisims passos inclus per estrelles sencilles

Es un mètode que parteix d'una solució aproximada de les equacions diferencials hidrodinamiques soluciona la estructura estellar a la vegada que les equacions estructurals

La energia produïda para temporalment la contracció de la proto-estrella i produeix els "balanceos (wiggles)" als camins d'evolució just abans de ZAMS

Rang de valors a la MS

• Luminositat: de \(5·10^{-4}L_s\) fins a \(10^6L_s\)
• Massa: de \(0.08M_s\) fins a \(100M_s\)
• Temperatura efectiva: de \(2500K\) a \(53000K\)
• Radi: de \(18R_s\) a \(0.3R_s\)

En aquesta regió las proto-estrelles evolucionen en EHS perque el temps de contracció és molt més lent que el de caiguda lliure. Acaben desenvolupan un nucli radiatiu.

Les estrelles acaben de començar la crema d'hidrogen de forma estable:

• Si la T al nucli es mes gran que \(2·10^7K\) cremaran amb CNO amb un nucli convectiu
• Si T al nucli es menor de \(2·10^7K\) el nucli serà radiatiu. i predominaran les reaccions p-p

Si La concentració d'heli augmenta, disminuira la pressió central i s'expandira la capa exterior de forma que la lluminositat també augmentara

Grafic ZAMS zones convectives i radiatives pag 47

Les reaccions CNO al nucli convectiu. Incrementa la pressió central que fa que augmenti el radi exterior i augmenta la lluminositat

Cicles p-p com no te un gradient de temperatura tant gran hin ha més zona de l'estrella amb augment de temperatura. Per tant augmenta la temperatura global de l'estrella amb el temps.

Son completament convectives i mou la estrella a la zona amb Heli

• Les estrelles poc massives perden poca massa amb els vents estelars.
• En canvi les estrelles mes massives perden un factor important en massa am,b els vents estelars

La capa d'hidrogen crema i el nucli isoterm de Heli augmenta L'estrella envermelleix degut a la disminució de temperatura

El limit pot ser evitat si el core està tan compacte que els electrons estan degenerats. Aquest fan una pressió que atura o disminueix el colapse.

• Per LMs i IMs la fase AGB explica la diferencia entre la massa inicial amb la massa de la WD que queda al final, ja que durant la MS el ritme de pèrdua de massa és molt baix.
• En el cas HMs si \(M> 15 M_\odot\) la pèrdua de massa és important durant totes les fases d'evolució fins i tot la MS. En el cas \(M>30M_\odot\) pot donarse que el temps \(M/\dot{M}\) sigui menor que el nuclear i, per tant la pèrdua de massa tindrà un efecte molt importatnt en la seva evolució. (Vent estelar, però no es sap molt bé l'explicació).

Per estrelles \(M<0.35M_s\) tot el hidrogen es cremat (convecció). Quan s'acaba l'estrella es refreda i es converteix en una nana blanca d'heli

Aquesta contracció defineix el final de aquesta estrella en la MS

• Aquest col·lapse provoca \(\nabla T\) diferent de zero i el nucli i capa de crema d'He es contrauen \((\rho, T \uparrow)\) i, per tant es genera molta energia extra que s'utilitza per expandir l'embolcall.
• L'expansió i l'augment de l'opacitat favoreixen la convecció en les capes més externes, això canvia la composició química del nucli i de la superfície (dredge-up phase).

Com més massa tingui l'estrella més gran serà el nucli convectiu

Però, la enorme pèrdua de massa de la AGB evita la supernova i passa:

• Les capes externas son alliberaades en forma de nebulosa planetaria i queda una nana blanca amb un nucli C/O amb una petita capa de heli i hidrogen.
• La nebulosa planetaria es refreda rapidament i la nana blanca poc a poc va perdent temperatura

En algun moment d'aquesta fase les condicions del nucli son les adequades perquè comenci la crema d'He per reaccions triple-alfa

LMs: el nucli està molt degenerat quan comença el procés triple-alfa. Aquest absorbeix energia (la pressió de degeneració no depèn de la temperatura, per tant no s'expandeix) fins que perd la degeneració i només en aquest moment s'expandeix de forma explosiva el nucli (Flash d'He)

Desprès del flash de Heli el nucli d'Heli es convertirà en una nana blanca i les capes exteriors es resultaran en una nebulosa planetària

En aquesta fase apareixen inestabilitats en els seus embolcalls (pulsacions)

Les estrelles tan massives perden molta massa i no es fàcil descriure les propietats de la superficie.

En algún moment la capa de crema d'H torna a començar i la capa de crema d'He s'encen i s'apaga periodicament, perquè la capa de He es cau de la capa d'H que té sobre. Això pot provocar els flashes de He i durant aquests la capa d'H s'apaga i es formen zones convectives entre les dues capes provocant un episodi de dredge-up

Quan la Temperatura arriba a \(3·10^9K\) la photo desintegració de nuclis atòmics pesats te lloc i redueix la pressió que aguanta el nucli:

• Forats negres lleugers es formen quan alguna de la massa cau dins del nucli enriquit de neutrons i força encara més el col·lapse
• Forats negres pesats es formen d1 quan la regió central de l'estrella explota i col·lapsa ràpidament

El shock es propaga per tota l'estrella arribant a
totes les capes exteriors.

\(L_{r,rad}^{max}=-\frac{16 \pi a c G}{3 R} \left(1-\frac{1}{\gamma}\right) \frac{\mu m T^3}{\kappa \rho}\)

Una capa es estable contra la convecció si la densitat varia més abruptament amb la pressió que per un canvi adiabàtic.

\(\frac{P}{T} \frac{dT}{dP} > \frac{\gamma-1}{\gamma}\)

és una derivada espacial que per determinar-la necessitem la estructura interna d'una estrella

• A \(\rho \downarrow \text { i } T \uparrow, \; \bar{\kappa}\) es constant, amb un valor de dispersió d'electrons donat \(\kappa_{es}\). Aquest augmenta cap a \(\rho \uparrow \text { i } T \downarrow) degut a absorcions free-free i bound-free.
• Per \(T<10^{14} \text{ K, } \bar{\kappa}\) disminueix dràticament per la recombinació de H, la principal font d'opacitat es la del io H\(^{-1}\).
• A encara baixes \(T, \;\; \bar{\kappa} \) puja un altre cop per la formació de molècules i pols
• A \(\rho \text{ molt altes}, \;\; \bar{\kappa}\) es dominada per la conductivitat de electrons degenerats i disminueix dràsticament amb l'augment de la pressió

La fusió d'aquest nuclis pesats creant una massa gegant que acaba tornat el nucli estelar en un format predominantment per neutrons degenerats que el fan gairebé incompressible acabant el col·lapse.

\(\frac{\partial L}{\partial m}= (\epsilon-\epsilon_\nu) - \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{P}{\rho^2}\frac{\partial \rho}{\partial t}\)

si \(P_{gas} \gg P_{rad}\Rightarrow \beta \approx 1\)

• Gradient de temperatura molt petit \(\frac{\partial T}{\partial r}\).
• Estimant la distància típica de variació de la pressió en un interior estel·lar \(H_P \Rightarrow H_P \gg \lambda_{fot, \odot}\) (La matèria estel·lar és molt opaca a la radiació electromagnètica)

• \(u \propto P\), però quan estem al límit de degeneració l'equació d'estats dels electrons not depen de la T
• La capacitat calorífica combinada del interior és
  \(c_v = \left(\frac{\partial u_i}{\partial T}\right)_v\)+ \(c_v = \left(\frac{\partial u_e}{\partial T}\right)_v=\frac{3n_i kT}{2}\). La capacitat calorífica dels electrons degenerats és zero \(\Rightarrow\) Energia tèrmica dominada pels ions.

DIAGRAMA DE TEMPERATURA-DENSITAT DE L'EQUACIÓ D'ESTAT

Es produeixen p, n, \(\ \alpha\), que es capturen ràopidament per nuclis pesats i això crea molts isòtops per reaccions secundaries