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Integration, Fonctions intégrables au sens de Riemann, Primitive et…
Integration
Primitive et intégrale d’une fonction continue
Fonctions intégrables au sens de Riemann
Intégrale d’une fonction bornée sur un segment
Propriétés de l’intégrale de Riemann
Intégrale d’une fonction en escalier sur un segment
Intégrale
Sommes de Riemann
Fonction en escalier sur un segment
Inégalités
Subdivision d’un segment
Extension de la notion d’intégrale
Calcul d’intégrales
Changement de variable
Intégration par parties
Fonctions intégrables au sens de Riemann
1
Subdivision d’un segment
On appelle subdivision du segment [a,b]toute suite finie a0=a<a1<⋯<an=b
. Le pas de cette subdivision est le plus grand des ai+1−ai.
exemple
σ =(0,1/3,1)
est une subdivision de [0, 1].
2
Fonction en escalier sur un segment
exemple
Soit [a, b] un segment de R. On appelle fonction en escalier sur [a, b], toute fonction f définie sur [a, b] à valeurs dans R, pour laquelle il existe une subdivision (xk)0≤k≤n de [a, b], telle que pour tout k ∈ {0, ..., n − 1}, f/]xk, xk+1[ est une fonction constante
3
Intégrale d’une fonction en escalier sur un segment Intégrale
f1, f2 ∈ E([a, b], R); α, β ∈ R ;
∫ (αf1+ βf2)(x)dx=∫ αf1(x)dx+∫ βf2(x)dx
x ∈ [a,b] ,k ∈ [0,n-1];
∫ f(x)dx =Σ (X k+1 - Xk) Ck
L’intégrale d’une fonction en escalier positive est positive. x ∈ [a,b] ,k ∈ [0,n-1];
∫ f(x)dx =Σ (X k+1 - Xk) Ck ≥ 0
f1, f2 ∈ E([a, b], R) .Si f1 ≤ f2 ;x ∈ [a,b]
∫ f1(x)dx ≤ ∫ f2(x)dx
Relation de Chasles
4
Intégrale d’une fonction bornée sur un segment
Une fonction f : [a, b] → R est dite intégrable au sens de Riemann ou
Riemann-intégrable sur [a, b], si elle est bornée et si
I+(f, [a, b]) = I−(f, [a, b]).
Si f ∈ E([a, b], R) , alors f est Riemann-intégrable sur [a, b] Si (xk)0≤k≤n est une subdivision qui lui est subordonnée telle que pour tout k ∈ {0, ..., n−1},
f/]xk, xk+1[= ck ∈ R
x ∈ [a,b] ,k ∈ [0,n-1];
{ ∫ f(x)dx =Σ (X k+1 - Xk) Ck}
Une fonction bornée f : [a, b] → R est Riemann-intégrable sur [a, b] si elle est bornée et si I+(f, [a, b]) = I−(f, [a, b]) x ∈ [a,b]; ∫ f(x)dx=I+(f, [a, b]) = I−(f, [a, b])
Soit f : [a, b] → R une fonction bornée.
On définit l’intégrale supérieure de
f sur [a, b] comme étant le réel
x ∈ [a,b] I+(f, [a, b]) := inf{ ∫g(x) dx;
g ∈ (E([a, b], R); g ≥ f}
x ∈ [a,b] I-(f, [a, b]) := sup{ ∫g(x) dx;
g ∈ (E([a, b], R); g g ≤ f}
f : [a, b] → R une fonction bornée,
alors I−(f,[a, b]) ≤ I+(f, [a, b])
Une fonction bornée f : [a, b] → R est Riemann-intégrable sur [a, b] si est seulement si, pour tout ε > 0, il existe g− et g+ deux fonctions en escalier vérifiants g− ≤ f ≤ g + telle que : ∫ g+(x)dx - ∫ g-(x)dx < ε
Si f : [a, b] → R est une fonction monotone alors f est Riemann-intégrable sur [a, b].
Si f : [a, b] → R est une fonction continue alors f est Riemann-intégrable
sur [a, b].
5
Propriétés de l’intégrale de Riemann
Relation de Chasles
Linéarité de l’intégrale
ordre des bornes
Positivité de l'intégrale
la valeur absolue de l'intégrale
Croissance
Formule de la moyenne
6
Sommes de Riemann
Si f est une fonction continue sur [a, b], alors
∫ f(x)dx=
lim b − a/n Σ f(a + k (b − a)/ n) n→+∞
7
Inégalités
Inégalité de Cauchy-Schwarz
x ∈ [a, b] ; |∫ (fg)(x)dx| ≤√(∫ f(x)²dx) √(∫ g(x)²dx)
Inégalité de Minkowski
x ∈ [a, b] ;√ ∫ (f+g)²(x)dx ≤√(∫ f(x)²dx) √(∫ g(x)²dx)
8
Extension de la notion d’intégrale
Si f est une fonction Riemann-intégrable sur [a, b], alors pour tous réels c et
d dans [c, d]
x ∈ [c ,d] ∫ f(x)dx= {
∫ c -> d f(x)dx si c<d -∫ d -> c f(x)dx si d<c
s si c=d
Si f ∈ R([a, b], R), alors pour tout c, d, e ∈]a, b[
Relation de Chasles
Si f ∈ R([a, b], R), alors pour tout c, d ∈]a, b[ | ∫ d c f(x) dx| ≤ |c − d| sup |f|
Linéarité de l’intégrale
Soit f une fonction continue et positive sur [a, b] et c, d ∈ [a, b] tel que c ≠ d. Si ∫ f(x)dx , alors f ≡ 0 entre c et d
Les propriétés de positivité et de croissance ne restent pas vraies si on n’intègre
pas sur un segment.
Primitive et intégrale d’une fonction continue
Primitives usuelles
Link Title: PRIMITIVES USUELLES
Soit f : I → R. On dit qu’une fonction F : I → R est une primitive de f sur
I, si et seulement si elle est dérivable sur I et sa dérivée est égale à f.
Soit f : I → R. Si F et G sont deux primitives de f sur I, alors il existe
c ∈ R tel que G = F + c
Soit f : I → R une fonction continue et a ∈ I. On considère F la fonction
définie sur I par :t∈ [0, x]
F(x)=∫ f(t)dt
On a alors, F est de classe C1 sur I et est la seule primitive de f qui s’annule en a.
Si f : I → R est une fonction continue, alors f admet une primitive sur I.
Soit f : I → R une fonction continue et a, b dans I. Si H est une primitive
de f sur I, alors :
∫ f(x)dx= H(b) − H(a) = [H(t)]b->a
Si f : I → R est une fonction de classe C1 et a, b dans I, alors: f(b) − f(a) =∫ f '(x)dx
Soit f : I → R une fonction continue et u : I → R, v : I → R deux fonctions
dérivables. On considère G la fonction définie sur I par:
Calcul d’intégrales
Intégration par parties
exercice
Changement de variable
exercice
2
1
Intégration carte mentale
