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Série de Fourier, Onda Quadrada, Série para Onda Quadrada, Largura de…
Série de Fourier
Consiste na representação de funções periódicas através superposição de funções seno e/ou cosseno (que podem ser substituídas por exponenciais complexas)
F(x) = Σ[a_n . cos(n.x)] + Σ[b_n . sen(n.x)] = Σ[c_k . e^(i.k.x)],
| n, k ∈ ℤ; 0 <= n <= ∞, -∞ <= k <= ∞
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Onda Quadrada
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É a representação gráfica, periódica e contínua da "Função Degrau" ou "Função de Heaviside"
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Impossível de ser gerada em sistemas físicos reais, pois
Como o tempo de subida é 0 (instantâneo), a largura de banda é infinita
Usadas, por exemplo, em
Circuitos digitais, especialmente como pulsos de clock
Porém
Sua interpretação analógica indica que há uma grande faixa de harmônicos de altas frequências nas suas aproximações mais simples, o que pode ser prejudicial para circuitos mais "sensíveis" como conversores analógico-digitais
Pois
A presença de altas frequências pode gerar radiação eletromagnética ou pulsos de corrente capazes de interferir com outros circuitos nas proximidades, causando ruído ou erros
Por essa razão,
Opta-se por vezes em gerar sinais de clock com funções seno ou exponenciais ao invés de tentar modelar uma onda quadrada "perfeita"
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Sintetizadores, para emular sons de instrumentos de sopro
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Série para Onda Quadrada
Se centrada na origem, amplitude igual a 1 e período igual a π:
F(t) = 1/π . Σ[sen(n.π/2)/n . e^(i.n.t)], | n ∈ ℤ, -∞ <= n <= ∞
Analisando a energia da onda (que é a integral do módulo ao quadrado da função de -π a π) obtém-se uma interessante equação:
π = π/2 + 3/π.Σ[1/n²],
| n ∈ ℤ, 1 <= n <= ∞
Possibilita resolver o problema de Basileia da soma dos recíprocos dos quadrados naturais:
Σ[1/n²] = π²/6
Os coeficientes decaem com 1/n, o que exprime um amortecimento menor das frequências mais altas do que outras séries de Fourier. Isso dificulta a suavização da curva, necessitando a presença de harmônicos de frequências maiores
Ex.: Onda Triangular, decai com 1/n² = 1/(2k-1)²
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Cada nova inserção de uma parcela da série de Fourier representa a superposição de uma nova onda, de uma nova frequência, formando um novo harmônico
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