Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
EDOs I ordem - Coggle Diagram
EDOs I ordem
\(P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\)
Exatas \(dU=\left(\dfrac{dP}{dx} \right)dx+\left( \dfrac{dQ}{dy}\right)dy=0\)
Verifica Clairaut-Schwarz \(\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}\)
\(dU=0\Rightarrow U=c\), sendo que \(U(x,y) = \int P(x,y)\, dx + \phi(x)\) onde \(\phi(x)\) se obtém de \(Q(x,y) = \dfrac{\partial U}{\partial y} = \dfrac{\partial \,}{\partial y} \left[ \int P(x,y)\, dx + \phi(x) \right]\)
Não verifica \(\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}\ \), pode ser tornada exata
Pode existir um fator integrante tal que \(\dfrac{\partial \left(\mu\,P\right)}{\partial y} = \dfrac{\partial \left(\mu\,Q\right)}{\partial x}\)
se \(h\) depende só de \(x\), onde \(h(x) = \dfrac{1}{Q}\left(\dfrac{\partial P}{\partial y} - \dfrac{\partial Q}{\partial x}\right)\), então \(\mu(x) = \exp \left( \int h(x) \, dx \right)\)
se \(g\) depende só de \(y\), onde \(g(y) = -\dfrac{1}{P}\left(\dfrac{\partial P}{\partial y} - \dfrac{\partial Q}{\partial x}\right)\), então \(\mu(y) = \exp \left( \int g(y) \, dy \right)\)
Homogêneas \(\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{Q(x,y)}{P(x,y)}\) onde \(P(\alpha^n x,\alpha^n y)=\alpha^nP(x,y)\) e \(Q(\alpha^n x,\alpha^n y)=\alpha^nQ(x,y)\)
Substiuir \(y = \nu x\) e a derivada por \(\dfrac{dy}{dx} = \nu + x\dfrac{d\nu}{dx}\)
Separáveis \(f(x)dx-g(y)dy=0\)
Solução \(\int f(x) dx=\int g(y)fy\)
Lineares:
\(f\left(a_1x+b_1y+c_1\right)dx + g\left(a_2x+b_2y+c_2\right)dy=0\)
Se \(a_1b_2=a_2b_1\)
Usar a substituição \(z=a_1x+b_1y+c_1\) e usar \(\dfrac{dz}{dx}=a_1+b_1\dfrac{dy}{dx}\)
para mudar a derivada
Se \(a_1b_2\neq a_2b_1\)
Utilizar as transformações \(x=u+h\) e \(y=v+k\) de forma a mudar a EDO para \(f\left(a_1u+b_1v\right)dx + g\left(a_2u+b_2v\right)dy=0\), onde \(h\) e \(k\) se obtém a partir do sistema
\(\left\{\begin{matrix} a_1h+ b_1k + c_1 = 0\\ a_2h+ b_2k + c_2 = 0 \end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{dy}{dx}=a(x)y+f(x)y^n\)
Se n = 0: Fator Integrante \(\dfrac{dy}{dx}=a(x)y+f(x)\)
Solução: calcular \(\mu (x) = e^{-\int (a)\,dx}\) e reescrever a EDO como \(\dfrac{d\,}{dx}[\mu y]=\mu f(x)\)
Se n > 0: Equação de Bernoulli
\(\dfrac{dy}{dx}=a(x)y+f(x)y^n\)
Solução: Reescrever como \(y^{-n}\dfrac{dy}{dx}-a(x)y^{n-1}=f(x)\)
e usar a substituição \(\nu = y^{n-1}\)