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Conjuntos numéricos - Coggle Diagram

- - - - La notación utilizada para representar los números racionales es mediante una fracción, donde el numerador y el denominador son números enteros. Por ejemplo, 3/4 es un número racional, donde 3 es el numerador y 4 es el denominador.
      - También se puede representar un número racional mediante un decimal finito o periódico. Por ejemplo, 0.5 es un número racional, ya que se puede expresar como la fracción 1/2. De igual manera, 0.333... (con el 3 repitiéndose indefinidamente) es un número racional, ya que se puede expresar como la fracción 1/3.
      - Es importante destacar que en la notación de los números racionales, el denominador nunca puede ser cero, ya que no está definida la división entre cero.
  - - - una operación básica con números racionales podría ser la suma de dos fracciones. Para hacer esto, debemos asegurarnos de que las fracciones tengan el mismo denominador.
      - Por ejemplo, si queremos sumar 2/3 y 1/4, primero debemos encontrar un denominador común. En este caso, podemos usar el denominador 12 (que es el mínimo común múltiplo de 3 y 4).
      - Entonces, convertimos ambas fracciones a equivalentes que tengan el denominador 12:
      - 2/3 = 8/12 (multiplicando el numerador y el denominador por 4)
      - 1/4 = 3/12 (multiplicando el numerador y el denominador por 3)
      - Ahora que ambas fracciones tienen el mismo denominador, podemos sumar los numeradores:
      - 8/12 + 3/12 = 11/12
      - Por lo tanto, la suma de 2/3 y 1/4 es 11/12.
  - - - Las propiedades que se usan en los números racionales son:
      - Propiedad de cerradura: La suma, resta, multiplicación y división de dos números racionales siempre da como resultado otro número racional.
      - Propiedad de inverso aditivo: Cada número racional tiene un inverso aditivo, es decir, un número racional que al sumarse con él da como resultado cero. Por ejemplo, el inverso aditivo de 2/3 es -2/3, ya que 2/3 + (-2/3) = 0.
      - Propiedad de inverso multiplicativo: Cada número racional, excepto el cero, tiene un inverso multiplicativo, es decir, un número racional que al multiplicarse con él da como resultado 1. Por ejemplo, el inverso multiplicativo de 3/4 es 4/3, ya que 3/4 x 4/3 = 1.
      - Propiedad distributiva: La multiplicación es distributiva sobre la suma y la resta de números racionales, lo que significa que a x (b + c) = (a x b) + (a x c) y a x (b - c) = (a x b) - (a x c).
      - Propiedad de asociatividad: La suma y la multiplicación de números racionales son asociativas, es decir, a + (b + c) = (a + b) + c y a x (b x c) = (a x b) x c.
      - Propiedad de conmutatividad: La suma y la multiplicación de números racionales son conmutativas, es decir, a + b = b + a y a x b = b x a.
      - Propiedad de densidad: Entre dos números racionales siempre existe otro número racional.
- - - - el símbolo "ℕ" también se utiliza para representar el conjunto de números naturales en la notación matemática.
        
        A veces, se utiliza "N+" o "N" para referirse al conjunto de números naturales excluyendo el número cero. En otras palabras, "N+" o "N" se refiere al conjunto de números naturales positivos.
  - - - Si se cuentan 10 manzanas en un árbol, se puede representar la cantidad de manzanas utilizando un número natural:
        
        N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
        
        En este caso, el conjunto de números naturales que se utiliza para representar la cantidad de manzanas es finito y se extiende desde 1 hasta 10. Cada número en el conjunto N representa a una manzana, y la cantidad total de manzanas en el árbol se puede determinar contando el número de elementos en el conjunto N.
- - - - Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación: a + b = b + a y a x b = b x a, para cualquier par de números reales a y b.
      - Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación: (a + b) + c = a + (b + c) y (a x b) x c = a x (b x c), para cualquier conjunto de números reales a, b y c.
      - Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma: a x (b + c) = a x b + a x c, para cualquier conjunto de números reales a, b y c.
      - Existencia del elemento neutro para la suma y la multiplicación: Existen números reales 0 y 1, respectivamente, tal que a + 0 = a y a x 1 = a, para cualquier número real a.
      - Existencia del elemento inverso para la suma: Para cada número real a, existe un número real -a tal que a + (-a) = 0.
      - Propiedad de la tricotomía: Para cualquier par de números reales a y b, se cumple que a es menor que b, a es igual a b, o a es mayor que b.
      - Propiedad de densidad: Entre cualquier par de números reales distintos siempre existe otro número real.
      - Propiedad de la simetría: Si a es mayor que b y b es mayor que c, entonces a es mayor que c.
      - Propiedad del valor absoluto: El valor absoluto de un número real es siempre no negativo y cumple la propiedad de multiplicación a x (-a) = -(a x a).
- - - - Son infinitos y no periódicos: no hay un patrón repetitivo en su decimal.
      - No pueden ser expresados como fracciones: no se pueden representar como una división exacta de dos números enteros.
      - Son densos: entre dos números irracionales siempre hay otro número irracional.
      - No se pueden ordenar: no existe un orden establecido entre los números irracionales.
      - Son trascendentales: es decir, no son raíces de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros.
  - - - Ejemplo
        
        La notación decimal de π es 3.14159265358979323846… y la notación de la raíz cuadrada de 2 es 1.41421356237309504880… En general, los números irracionales se representan mediante su notación decimal infinita, aunque también se pueden representar mediante fórmulas matemáticas o mediante propiedades algebraicas.
      - Operación básica
        
        Una operación básica que se puede hacer con números irracionales es la suma. Por ejemplo, si tienes dos segmentos de longitud irracional, puedes sumar sus longitudes para obtener la longitud total del camino que recorres al recorrer ambos segmentos juntos.
        
        Imaginemos que tienes un segmento de longitud √2 y otro segmento de longitud π. Si los sumas, obtendrás la longitud total del camino recorrido:
        
        √2 + π ≈ 4.555
        
        En este ejemplo, la suma de dos números irracionales resulta en un número irracional, y la notación decimal de la suma es una aproximación, ya que la suma de dos números irracionales no siempre da como resultado un número exacto. Es decir, la suma de √2 y π es un número irracional que no se puede expresar exactamente como una fracción o como un número decimal finito.
  - - - Las propiedades que se aplican a los números irracionales incluyen:
      - 1) Los números irracionales no pueden ser expresados como cociente de dos enteros.
      - 2) La suma o multiplicación de dos números irracionales puede o no resultar en un número irracional.
      - 3) Los números irracionales son infinitos y no periódicos en su representación decimal.
      - 4) Los números irracionales son trascendentes, lo que significa que no pueden ser raíces de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros.
      - 5) Los números irracionales tienen la propiedad asociativa, lo que significa que el orden en que se agrupan los números en una suma o multiplicación no afecta el resultado.
      - 6)Los números irracionales son utilizados en muchas áreas de las matemáticas, la física, la ingeniería y el arte.
- - - - Incluyen todos los números naturales (1, 2, 3, ...) y sus negativos (-1, -2, -3, ...).
      - También incluyen el número cero (0).
      - La distancia entre dos números enteros consecutivos siempre es igual a 1.
      - Los números enteros se pueden sumar, restar y multiplicar entre sí, obteniendo como resultado otro número entero.
      - Los números enteros no pueden ser divididos entre cero, es decir, la división por cero no está definida en los números enteros.
      - Los números enteros son una herramienta fundamental en las matemáticas y tienen aplicaciones en diversas áreas, como la física, la ingeniería y la informática, entre otras.
    - - La notación comúnmente utilizada para representar los conjuntos numéricos enteros es "Z"
        Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
        
        Cada uno de los números enteros en este conjunto se denota con un número entero seguido del símbolo "Z". Por ejemplo, 5 pertenece al conjunto de números enteros y se escribe como "5 ∈ Z". De manera similar, -2 también pertenece a este conjunto y se escribe como "-2 ∈ Z".
    - - Existen varias propiedades de los números enteros que se utilizan en las operaciones básicas, las principales son:
        
        Propiedad conmutativa: Esta propiedad establece que el orden de los números en una suma no afecta el resultado. Es decir, si a y b son números enteros, entonces a + b = b + a.
        
        Propiedad asociativa: Esta propiedad establece que el agrupamiento de los números en una suma no afecta el resultado. Es decir, si a, b y c son números enteros, entonces (a + b) + c = a + (b + c).
        
        Propiedad distributiva: Esta propiedad establece que la multiplicación se distribuye sobre la suma. Es decir, si a, b y c son números enteros, entonces a × (b + c) = a × b + a × c.
        
        Propiedad de la suma de cero: Esta propiedad establece que cualquier número entero sumado con cero da como resultado el mismo número. Es decir, si a es un número entero, entonces a + 0 = a.
        
        Propiedad del elemento inverso: Esta propiedad establece que todo número entero tiene un inverso aditivo que, sumado a dicho número, da como resultado cero. Es decir, si a es un número entero, entonces existe un número entero -a, tal que a + (-a) = 0.
  - - - Supongamos que un estudiante tiene una deuda de $50 dólares en la biblioteca de la universidad y decide devolver un libro que tenía en préstamo por el cual debía pagar una multa de $10 dólares. Si queremos saber cuánto dinero debe pagar el estudiante en total, podemos realizar la siguiente operación:
      - Deuda inicial en la biblioteca: -50 dólares
      - Multa por devolución tardía del libro: +10 dólares
      - Sumando estos valores, obtenemos el total de la deuda del estudiante:
      - -50 dólares + 10 dólares = -40 dólares
      - Por lo tanto, el estudiante debe pagar un total de $40 dólares para saldar su deuda con la biblioteca. En este ejemplo, utilizamos la propiedad de que los números enteros se pueden sumar entre sí para calcular la deuda total del estudiante.