Probabilidad
Tipos de experiencias
Definiciones
Experiencias Aleatorias
Experiencia Determinista
Aquella cuyo resultado depende del Azar. Como lanzar un dado, sacar una carta, etc.
Aquella que, partiendo de las mismas condiciones iniciales, tenemos la certeza de o que va a sucede. Como extraer una canica roja de una bolsa de canicas rojas o saber el tiempo que tarda un objeto en llegar al suelo
Suceso
Acontecimiento que ocurrirá o no dependiendo del azar. Cualquier subconjunto de E
Espacio muestral
Conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Se designa por E
Suceso elemental
Suceso formado por solo un elemento de E
Suceso imposible
Suceso vacio
No tiene ningún elemento en el espacio muestral
Ej. Lanzar un dado E = (1,2,3,4,5,6)
Suceso seguro
Es el propio espacio muestra E
P (E) = 1
P (0) = 0
Operaciones con sucesos
Union de sucesos
Es el suceso formado por todos los elementos de A y de B
A o B
A u B
el suceso A u B se cumple cuando ocurre uno de los dos, es decir o A, o B, o incluso Ambos
Intersección de sucesos
Es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y de B
A y B
A n B
Se cumple cuando ocurre A y B a la vez
Diferencia de sucesos
A - B
Es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B
Se cumple cuando lo hace A y no lo hace B
Suceso contrario o complementario
A
El suceso se cumple siempre y cuando no se cumpla A
A = E - A
Sucesos incompatibles
Cuando no tienen ningún suceso en común
No tienen ninguna intersección (A n B = 0)
No pueden cumplirse simultáneamente
Leyes de Morgan
- El complementario de la union es la intersección de los complementarios
- El complementario de la intersección es la unión de los complementarios
Frecuencia y probabilidad
N: número de veces que realizamos una experiencia aleatoria
Frecuencia absoluta de un suceso S: número de veces que ocurre S. Se representa como f (S)
Frecuencia relativa de S: Proporción de veces que ocurre S
fr (S) = f (S)/N
Ley de grandes números
P (S): Probabilidad de que ocurra S
Axiomas y teoremas de la probabilidad
Axiomas
Teoremas
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Un axioma es un enunciado tan evidente que se considera que no necesita demostracion
La probabilidad de cada suceso es un numero que ha de cumplir con los siguientes axiomas
- La probabilidad cualquier suceso tiene que ser mayor o igual que cero
- Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su union es igual a la suma de sus probabilidades
- La probabilidad total es 1. P (E) = 1
Ley de Laplace
La clave para poder aplicar la regla de Laplace es que todos los sucesos elementos tengan la misma probabilidad (sucesos equiprobables)
Ej. Un dado no truncado, una moneda, una baraja
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No se puede aplicar en los siguientes casos
Instrumentos irregulares. Lanzar una moneda considerando el caso que pueda caer de canto. Alternativa: aplicar la ley de los grandes números
Instrumentos regulares. Lanzar dos dados y anotar la suma de los resultados. Alternativa: hacer una tabla para reformular el espacio muestral
Probabilidad condicionada
Es la probabilidad de que el número sea algo con una condición
Dados dos sucesos, A y B, se llama probabilidad de A condicionada a B
P ( A / B )
Ej. Bolas pares y colores. P ( par / roja )
P ( A / B ) = P ( A n B ) / P ( B )
Mide la proporción de veces que ocurre A de entre las que ocurre B
P ( A n B ) = P ( A / B ) x P ( B ) = P ( A ) x P ( B / A)
Sucesos independientes
Dos sucesos independientes cuando la probabilidad de que ocurra uno de ellos no depende de nada de que se haya ocurrido el otro
P ( A / B ) = P ( A )
A y B independientes: P ( A n B ) = P ( A ) x P ( B )
A y B dependientes: P ( A n B ) = P ( A / B ) x P ( B )
Sucesos incompatibles NO son lo mismo que independientes
A y B incompatibles: A n B = 0
Pruebas compuestas
Experiencia aleatoria que está formada por dos o más etapas. Si no es así se llaman dependientes
Ejemplos: Lanzar una moneda y un dado son independientes. Extraer dos bolas de una urna con reemplazamiento son independientes. Extarer dos bolas de una urna sin reemplazamiento son dependienetes. Sacar dos cartas seguidas de una baraja son dependientes
Experiencias independientes
Experiencias dependientes
Teorema de probabilidad Total
Dados n sucesos, A1, A2, …, An, que son incompatibles dos a dos y tales que A1 u A2 u … u An = E. Entonces para cualquier sucesos S se cumple qu
P ( S ) se llama probabilidad total
Teorema de Bayes
Se utiliza para calcular la probabilidad de un suceso teniendo información de antemano sobre ese seuceso
A posteriori
Entiende la probabilidad de forma inversa a como lo hace el teorema de la probabilidad total
Calcula la probabilidad de un suceso A condicionado al resultado de un suceso B
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