Estructuras Algebraicas

Una estructura algebraica esta construida por un conjunto dado y una o mas operaciones definidas en el o que lo vinculan con otro conjunto.

Anillo

Cuerpo

Se utilizan los símbolos (⊛, •) como operadores. En la práctica estos hace referencia a la suma y producto respectivamente ( + , ·).

Grupo

Grupo: (1) Ley de composición interna (aplicando el operador ⊛ el resultado pertenece al conjunto dado. (2) Es Asociativa. (3) Existe elemento neutro y es único. (4) Existe elemento inverso con respecto a la operación ⊛.

Grupo Conmutativo o abeliano: (5) Es conmutativo

Dado un conjunto Z en el que están definidas dos operaciones que son ⊛ y • , debe cumplirse

La operación ⊛ cumple con: (1) Ley de composición interna (aplicando la operación el resultado pertenece al conjunto dado.
(2) Es Asociativa. (3) Existe elemento neutro y es único. (4) Existe elemento inverso con respecto a la operación.
(5) Es conmutativa.

La operación • cumple con: (6) Ley de composición interna. (7) Es asociativa.

(8) La operación • es distributiva con respecto a a ⊛.

(1) 17 + (-8) = 9. 9 ∈ Z. (2) 7 + (-2) + 4 = 9 [7 + (-2)] +4 = 9. (3) -3 + 0 = -3. (4) 9; -9 (5) (-3) +7+4 = 7+4 +(-3) = 8 (6) (-3)·2 = -6 -6 ∈ Z (7) 2·5·9 = (2·5)·9 = 90 (8) 3· (2+4) = (3·2) +(3·4)

Dado un conjunto Q y definida la operación ⊛ y •

La operación ⊛ cumple con: (1) Ley de composición Interna(2) Es asociativa (3) Existe elemento Neutro y es único (4) Existe elemento inverso con respecto a ⊛ (5)Es conmutativa

Dado un conjunto Z y definida una operación ⊛, debe cumplirse:

La operación • cumple con: (6) Ley de composicion interna (7) Es asociativa (8) Existe elemento neutro que es unico (9) Existe elemento inverso (10) Es Conmutativa

(11) • es distributiva con respecto a ⊛

(1) 3/5+1/2=6+5/10=11/10 ∈ Q

(2) 1/2+2/3+3/5=15+20+18 / 30 = (1/2+2/3)+3/5 = (3+4 / 6) + 3/5 = 7/6 + 3/5 = 35+18 / 30 = 53/30

(3) 3/8 + 0 = 3/8

(5) 1/2+2/3+3/5 = 2/3+3/5+1/2 = 53/30

(11) 2/3·(2/5-1/3+5/7) = 4/15-2/9+10/21 =84-70+150 / 315 = 2/3·(2/5-1/3+5/7) = 2/3 ·(42-35+75 / 105) = 2/3 ·82/105 = 164/315

(6) 2/3 · (-4/5) = -8/15; -8/15 ∈ Q

(7) 3/8 · 1/2 · 7/5 = (3/8·1/2)·7/5 = 3/16 · 7/5 = 21/80

(8) 5/6 · 1 = 5/6; Elemento Neutro 1

(9) 5/6; 6/5 Elemento Inverso

(10) 3/8·1/2·7/5 = 7/5·3/8·1/2 = 21/80

(4) 3/7 ; -3/7

(5) 3+5+6 = 6+3+5

(1) 3+5 = 8 8 ∈ Z. (2) 4+5+8+3 = (4+5)+8+3. (3) 13 + 0 = 13. (4) 3; -3.

Par ordenado de elementos "(a;b)"

Producto Cartesiano de, 2 Conjuntos

Dado 2 conjuntos, se llama producto cartesiano de MxN al conjunto de pares ordenados formado por los elementos de M asociados a elementos de N

N = {a,m,p,r}

M ={3,5,7}

(M) x (N) = (MxN)

MxN = {(3;a),(3;m),(3;p),(3;r),(5;a),(5;m),(5;p),(5;r),(7;a),(7;m),(7;p),(7;r)}

Relaciones

Dada una propiedad se llama relación de un conjunto P en un conjunto M al conjunto de pares ordenado s que satisfacen la propiedad y tales que el primer elemento pertenece a dP y el segundo elemento a M

Si entre los conjuntos M y P se establece la relación " capital de" se obtiene el conjunto

M = {Argentina,Brasil,Peru,España,Francia}

P = {Buenos Aires,Madrid,París,Brasilia,Lima}

P "Relacion" M = {(Buenos Aires;Argentina),(Madrid;España), (París;Francia),(Lima;Peru),(Brasilia;Brasil)} por extension

P "Relacion" M = {(x;y) / x "Relación" y ⇒ x ∈ P; y ∈ M } por comprensión

Se lee: el conjunto P relacionado con el conjunto M está formado por todos los pares ordenados (x;y) tal que x esta vinculado con y ; implica que x pertenece al conjunto P e y pertenece al conjunto M.

Relaciones principales

Relación de Equivalencia

Relación de Orden

Una relación es de equivalencia cuando entre los elementos de un mismo conjunto se cumple las propiedades reflexiva,simétrica y transitiva

Reflexiva

Todo número es igual a si mismo

∀ ∈ N; x R x ⇒ x = x

Simetría

Si un número es igual a otro, este es igual al primero si:

                    x ∈ N; y ∈ N                                              
                    x R y ⇒ y R x                                    x R y ⇒y =x

Transitiva

si un número es igual a otro y este es igual a un tercero, el primero es igual al tercero si:

x ∈ N ; y ∈ N ; z ∈ N x R y y Rz ⇒ }x R z x = y y = z} ⇒ x = z

El paralelismo entre las rectas contenidas en un mismo plano es uan relacion de equivalencia, porque

Toda recta es paralela a si misma

a//a

Si una recta a es paralela a otra recta a´, entonces a´ es paralela a a

a //a´ ⇒ a´ // a

Si la recta a es paralela a a´ y a´ lo es a la a´´, entonces a y a´´ son paralelas

a//a´ a´//a´´ } a // a´´

Es una relación entre los elementos de un conjunto se dice que es de orden cuando es reflexiva, no es simétrica y es transitiva

Sea la relación "divisor de"

Reflexiva

15 es divisor de 15

Transitiva

2 es divisor de 8, 8 es divisor de 16} ⇒ 2 es divisor de 16

No es simétrica

3 es divisor de 18, 18 no es divisor de 3

Todo número es divisor de si mismo

si un número es divisor de otro y este de un tercero, el primero es divisor del tercero

Antisimétrica, si un número es divisor de otro, este no es divisor del primero

Teoría de los números

aplicación biyectiva

Dado dos conjuntos, decimos que entre ellos hay correspondencia biyectiva cuando a cada elemento de un conjunto le corresponde un elemento del otro conjunto. Si entre dos conjuntos puede establecerse una aplicación (relación) biyectiva, los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos.

si existe una biyección del conjunto M en N, M es equipotente con N

dos conjuntos M y N son equipotentes o coordinables si y sólo si existe una biyeccion de M en N.

En símbolos: f: M ⇒ N ⇔ M equip N

Propiedad de la equipotencia

la equipotencia es una clase de equivalencia y por lo tanto cumple con las siguientes propiedades

Propiedad simetrica

propiedad reflexiva

propiedad transitiva

si existe una biyección de M en N , por definicion de funcion biyectiva, existe otra biyección de N en M

si M equip N ⇔N equip M

si f: M ⇒ N ⇒ f⁻¹: N ⇒M

Es la que aplica cada elemento a sí mismo

f: M ⇒ M ⇔M equip M

si f : M ⇒ N 𝛥f¹: N ⇒R} ⇒f´´: M⇒R

si M equip N 𝛬 N equip R } ⇒ M equip R