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Estructuras Algebraicas, Relaciones principales, Producto Cartesiano de, 2…
Estructuras Algebraicas
Anillo
Cuerpo
Grupo
Grupo: (1) Ley de composición interna (aplicando el operador ⊛ el resultado pertenece al conjunto dado. (2) Es Asociativa. (3) Existe elemento neutro y es único. (4) Existe elemento inverso con respecto a la operación ⊛.
Grupo Conmutativo o abeliano: (5) Es conmutativo
(5) 3+5+6 = 6+3+5
(1) 3+5 = 8 8 ∈ Z. (2) 4+5+8+3 = (4+5)+8+3. (3) 13 + 0 = 13. (4) 3; -3.
Par ordenado de elementos "(a;b)"
Relaciones
Relaciones principales
Relación de Equivalencia
Una relación es de equivalencia cuando entre los elementos de un mismo conjunto se cumple las propiedades reflexiva,simétrica y transitiva
Reflexiva
Todo número es igual a si mismo
∀ ∈ N; x R x ⇒ x = x
Simetría
Si un número es igual a otro, este es igual al primero si:
x ∈ N; y ∈ N x R y ⇒ y R x x R y ⇒y =x
Transitiva
si un número es igual a otro y este es igual a un tercero, el primero es igual al tercero si:
x ∈ N ; y ∈ N ; z ∈ N x R y y Rz ⇒ }x R z x = y y = z} ⇒ x = z
El paralelismo entre las rectas contenidas en un mismo plano es uan relacion de equivalencia, porque
Toda recta es paralela a si misma
a//a
Si una recta a es paralela a otra recta a´, entonces a´ es paralela a a
a //a´ ⇒ a´ // a
Si la recta a es paralela a a´ y a´ lo es a la a´´, entonces a y a´´ son paralelas
a//a´ a´//a´´ } a // a´´
Relación de Orden
Es una relación entre los elementos de un conjunto se dice que es de orden cuando es reflexiva, no es simétrica y es transitiva
Sea la relación "divisor de"
Reflexiva
Transitiva
No es simétrica
Producto Cartesiano de, 2 Conjuntos
Dado 2 conjuntos, se llama producto cartesiano de MxN al conjunto de pares ordenados formado por los elementos de M asociados a elementos de N
N = {a,m,p,r}
(M) x (N) = (MxN)
MxN = {(3;a),(3;m),(3;p),(3;r),(5;a),(5;m),(5;p),(5;r),(7;a),(7;m),(7;p),(7;r)}
M ={3,5,7}
Dada una propiedad se llama relación de un conjunto P en un conjunto M al conjunto de pares ordenado s que satisfacen la propiedad y tales que el primer elemento pertenece a dP y el segundo elemento a M
Si entre los conjuntos M y P se establece la relación " capital de" se obtiene el conjunto
M = {Argentina,Brasil,Peru,España,Francia}
P = {Buenos Aires,Madrid,París,Brasilia,Lima}
P "Relacion" M = {(Buenos Aires;Argentina),(Madrid;España), (París;Francia),(Lima;Peru),(Brasilia;Brasil)} por extension
P "Relacion" M = {(x;y) / x "Relación" y ⇒ x ∈ P; y ∈ M } por comprensión
si existe una biyección del conjunto M en N, M es equipotente con N
dos conjuntos M y N son equipotentes o coordinables si y sólo si existe una biyeccion de M en N.
En símbolos: f: M ⇒ N ⇔ M equip N
Propiedad de la equipotencia
la equipotencia es una clase de equivalencia y por lo tanto cumple con las siguientes propiedades
Propiedad simetrica
propiedad reflexiva
propiedad transitiva
si f : M ⇒ N 𝛥f¹: N ⇒R} ⇒f´´: M⇒R
si M equip N 𝛬 N equip R } ⇒ M equip R
si existe una biyección de M en N , por definicion de funcion biyectiva, existe otra biyección de N en M
Es la que aplica cada elemento a sí mismo
f: M ⇒ M ⇔M equip M
Una estructura algebraica esta construida por un conjunto dado y una o mas operaciones definidas en el o que lo vinculan con otro conjunto.
Se utilizan los símbolos (⊛, •) como operadores. En la práctica estos hace referencia a la suma y producto respectivamente ( + , ·).
Dado un conjunto Z y definida una operación ⊛, debe cumplirse:
Dado un conjunto Z en el que están definidas dos operaciones que son ⊛ y • , debe cumplirse
La operación ⊛ cumple con: (1) Ley de composición interna (aplicando la operación el resultado pertenece al conjunto dado.
(2) Es Asociativa. (3) Existe elemento neutro y es único. (4) Existe elemento inverso con respecto a la operación.
(5) Es conmutativa.
La operación • cumple con: (6) Ley de composición interna. (7) Es asociativa.
(8) La operación • es distributiva con respecto a a ⊛.
(1) 17 + (-8) = 9. 9 ∈ Z. (2) 7 + (-2) + 4 = 9 [7 + (-2)] +4 = 9. (3) -3 + 0 = -3. (4) 9; -9 (5) (-3) +7+4 = 7+4 +(-3) = 8 (6) (-3)·2 = -6 -6 ∈ Z (7) 2·5·9 = (2·5)·9 = 90 (8) 3· (2+4) = (3·2) +(3·4)
Dado un conjunto Q y definida la operación ⊛ y •
La operación ⊛ cumple con: (1) Ley de composición Interna(2) Es asociativa (3) Existe elemento Neutro y es único (4) Existe elemento inverso con respecto a ⊛ (5)Es conmutativa
La operación • cumple con: (6) Ley de composicion interna (7) Es asociativa (8) Existe elemento neutro que es unico (9) Existe elemento inverso (10) Es Conmutativa
(11) • es distributiva con respecto a ⊛
(11) 2/3·(2/5-1/3+5/7) = 4/15-2/9+10/21 =84-70+150 / 315 = 2/3·(2/5-1/3+5/7) = 2/3 ·(42-35+75 / 105) = 2/3 ·82/105 = 164/315
(6) 2/3 · (-4/5) = -8/15; -8/15 ∈ Q
(7) 3/8 · 1/2 · 7/5 = (3/8·1/2)·7/5 = 3/16 · 7/5 = 21/80
(8) 5/6 · 1 = 5/6; Elemento Neutro 1
(9) 5/6; 6/5 Elemento Inverso
(10) 3/8·1/2·7/5 = 7/5·3/8·1/2 = 21/80
(1) 3/5+1/2=6+5/10=11/10 ∈ Q
(2) 1/2+2/3+3/5=15+20+18 / 30 = (1/2+2/3)+3/5 = (3+4 / 6) + 3/5 = 7/6 + 3/5 = 35+18 / 30 = 53/30
(3) 3/8 + 0 = 3/8
(5) 1/2+2/3+3/5 = 2/3+3/5+1/2 = 53/30
(4) 3/7 ; -3/7
Se lee: el conjunto P relacionado con el conjunto M está formado por todos los pares ordenados (x;y) tal que x esta vinculado con y ; implica que x pertenece al conjunto P e y pertenece al conjunto M.
15 es divisor de 15
Todo número es divisor de si mismo
2 es divisor de 8, 8 es divisor de 16} ⇒ 2 es divisor de 16
si un número es divisor de otro y este de un tercero, el primero es divisor del tercero
3 es divisor de 18, 18 no es divisor de 3
Antisimétrica, si un número es divisor de otro, este no es divisor del primero
Teoría de los números
aplicación biyectiva
Dado dos conjuntos, decimos que entre ellos hay correspondencia biyectiva cuando a cada elemento de un conjunto le corresponde un elemento del otro conjunto. Si entre dos conjuntos puede establecerse una aplicación (relación) biyectiva, los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos.
si M equip N ⇔N equip M
si f: M ⇒ N ⇒ f⁻¹: N ⇒M