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ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS II - Coggle Diagram
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS
SÓLIDOS II
PROPRIEDADES DA SEÇÃO I
O primeiro passo é reconhecer que existem as mais diversas seções geométricas nas estruturas com os mais diversos materiais (madeira, aço, concreto armado, concreto protendido...).
De forma simples, o centro de gravidade é o ponto de equilíbrio de um determinado corpo. No caso estamos pensando em seções de estruturas, portanto, o centro de gravidade seria o local onde poderíamos apoiar a seção de forma a ela ficar em equilíbrio estático.
O que é o equilíbrio estático? É quando a somatória de
esforços e momentos são iguais a zero.
Σ momentos em y =momento equivalente em y =Σ dos infinitos momentos em y
Σ My= x(Peso total) =Σ xi (peso referente ao ponto i)
Σ My= x P = Σ xi Pi
Σ Mx = yP=Σ yi Pi
PROPRIEDADES DA SEÇÃO II
Na flexão de uma viga existe uma tendência de uma parte ser tracionada e a outra comprimida. A própria deformação da viga evidencia este fenômeno. A compressão e a tração tendem a aumentar linearmente em relação ao centro de gravidade da viga, ou seja, quanto mais longe do centro de gravidade maior será o esforço de tração e compressão.
Quanto maior o valor do momento de inércia, maior é a capacidade da seção gerar reações naquele sentido e, portanto, maior será a dificuldade da peça se flexionar perante ao eixo escolhido.
A nova inércia é dada por I, I é a inércia em relação ao centro de gravidade de um pedaço considerado, A é a área do pedaço considerado e d é a distância que o eixo paralelo deve percorrer
I =
I
+ Ad²
PROPRIEDADES DA SEÇÃO III
Fisicamente o produto de inércia indica a distribuição da seção em relação ao eixo adotado,
além de indicar simetria quando o próprio produto de inércia for igual a zero.
Ixy= Ixy + x . y . A
A equação para encontrar a maior e a menor inércia e o ângulo de inclinação.
ângulo que devemos rotacionar para obter as inércias máximas e
mínimas
ESFORÇOS EM VIGAS
temos que lembrar que as estruturas podem ser hipostáticas, isostáticas e hiperestáticas. A estrutura isostática é aquela que podemos resolver com as equações básicas da estática fazendo somatório de forças e momentos e igualando a zero. A estrutura hipostática é aquela que apresenta instabilidades e movimentos por não estarem adequadamente fixadas. E por fim as hiperestáticas são aquelas que não conseguimos calcular apenas com as equações básicas da estática.
FLEXÃO NORMAL SIMPLES
• Tensão normal
σ= tensão normal; F=força normal aplicada; A= área
• Tensão normal devido à flexão
σ= ±
M = Momento fletor;I = momento de inércia relativo ao eixo da flexão y = cota do ponto onde as tensões são nulas até o ponto estudado
• Tensão de cisalhamento
Ƭ = tensão de cisalhamento V = esforço cortante Q = momento estático ou de primeira ordem t = espessura da seção
FLEXÃO NORMAL COMPOSTA
A diferença da flexão normal composta é o acréscimo de forças concentradas na seção do nosso problema. A força normal na seção influencia principalmente na distribuição das tensões normais do nosso problema.
O primeiro passo consiste em encontrar as tensões máximas de tração e compressão
utilizando o centro geométrico como referência.
Observem a primeira diferença no equacionamento, agora é necessário embutir na expressão a relação força (N) sobre A(área). A máxima tensão de tração esta localizada na região superior da viga e, portanto, ficaremos com a seguinte fórmula.
A máxima tensão de compressão é dada da seguinte maneira.
As tensões de tração e compressão não são mais iguais, por causa do formato da seção e também por causa do esforço normal. O nome deste fenômeno é flexão composta justamente por causa da interferência do esforço normal.
A região onde a tensão é igual a zero não coincide com o centro geométrico da seção. Neste caso, devido à intensidade dos esforços o centro geométrico ficou bem próximo da região onde as tensões valem zero. A região onde as tensões normais valem zero é formada por uma linha. Esta linha recebe o nome de linha neutra. Para calcular sua posição basta fazer a equação das tensões igual a zero.
0= +
FLEXÃO OBLÍQUA
σ = ±
0 = ±
y = 0 (quando x =0, y=0)
ESTADO PLANO DE TENSÕES
O procedimento de cálculo apesar de trabalhoso é bem simples. Ele consiste em aplicar
as equações básicas da estática, nas novas direções x’ e y’.
Σ forças x' = 0
Σ forças y' = 0
σmáx,mín =
tg(2θ) =
ângulo que devemos rotacionar para obter as tensões máximas e mínimas
normais
ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES
Quando submetemos um corpo a um esforço de tração ele tende a ter deformações longitudinais no sentido de aumentar o próprio corpo. Quando submetemos um corpo a um esforço de compressão ele tende a ter deformações longitudinais no sentido de diminuir o próprio tamanho.
A tensão normal de tração ou compressão é igual ao produto do módulo de elasticidade
(E) pela deformação (ε).
σ = E.ε
A tensão de cisalhamento (Ƭxy) é igual ao módulo de elasticidade transversal (G)vezes a
distorção ou deformação de cisalhamento (γxy).
Ƭxy = Gγxy
A deformação longitudinal ao longo do eixo x é dada pela seguinte fórmula.
εx =
O (ΔL) é a variação de comprimento que o elemento tem e (L0)é o comprimento inicial. Isto quer dizer que a deformação é uma taxa de acréscimo ou decréscimo em relação ao comprimento inicial.
ν = -
coeficiente de Poisson
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
Se uma estrutura estiver sujeita a um esforço de 200 kN de carregamento real atuante, projetamos ela como se estivesse recebendo na verdade 280 kN. Se a mesma estrutura possui tensões críticas no valor de 500 Mpa real (testada em laboratório), projetamos ela como se seu limite crítico fosse de 370 Mpa. Os números aqui são apenas exemplos hipotéticos.
Percebam que damos margem de segurança, isto é proposital, pois se a estrutura aguenta 500mPa e projetamos ela no limite, qualquer interferência no sistema levará nosso projeto
ao colapso.
Tensão atuante < Tensão escoamento
Ƭmáximo < Tensão escoamento
σ máxima < σ ruptura na tração
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA II
o círculo de Mohr, nele encontraremos as tensões máximas e mínimas normais e também a máxima tensão de cisalhamento.
σmáx,mín =
tg(2θ) =
Em termos do círculo de Mohr a expressão
representa o centro da circunferência
e a expressão
representa o raio da circunferência. A expressão tg(2θ) =
serve para encontrarmos o ângulo onde as tensões principais ocorrerão.
Critérios de ruptura
= tensão de cisalhamento máxima
LINHA ELÁSTICA I
Vamos dar o nome de L para o comprimento da viga antes da deformação. Na região da linha neutra a viga possui o mesmo tamanho L que pode ser escrito da seguinte forma.
L = P.θ
O comprimento do arco AB é dado da seguinte forma.
Lab = (P - y).θ
A variação de comprimento e a deformação podem ser escritas conforme segue abaixo.
ΔL = (P - y)θ - P.θ = -yθ
εx =
A maior deformação possível pode ser escrita da seguinte maneira.
εmáx =
Isolando P e substituindo da equação de ε_xchegamos a seguinte relação
εx =
.εmáx
A curvatura é dada pelo momento
fletor dividido pelo módulo de elasticidade vezes o momento de inércia.
LINHA ELÁSTICA II
O módulo de elasticidade (E) é obtido em laboratório e o momento de inércia (I) é calculado
pelos procedimentosque já foram explicados nas primeiras aulas. Nos resta saber manipular
a equação diferencial e montar a função do momento fletor variando com x.
M(x) = F(L - x)
VIGAS HIPERESTÁTICAS E A LINHA
ELÁSTICA
definições
• BN (Barras Necessárias) - Número de barras simples necessárias para manter o equilíbrio estático. As barras simples não podem receber carregamento perpendicular ao eixo da barra. Barras simples são encontradas em treliças convencionais. Esforços transmitidos pelo eixo da barra.
• NBS - Número de nós articulados somente entre barras simples.
• BG - Número de barras gerais. Barras gerais são aquelas que recebem qualquer tipo
de carregamento.
• BE - Número de barras simples existentes, incluindo das vinculações.
A fórmula para a determinação estática de estruturas planas é a seguinte.
BN = 2.NBS + 3.BG
BN = BE = estrutura isostática
BN > BE = estrutura hiperestática
BN < BE = estrutura hipostática
equação para a flecha máxima
TORÇÃO
A tensão de cisalhamento máxima é dada pela seguinte relação.
Ƭmáx =
Ƭmáx =
J =
FLAMBAGEM
A flambagem é um fenômeno de perda de estabilidade relacionado a cargas de compressão.
Quando submetemos um corpo a cargas de compressão dependo do seu módulo de elasticidade (E), momento de inércia (I) e comprimento de flambagem (Lflam), ele perderá estabilidade e apresentará algum tipo de flambagem.
Fcr =
(Força crítica de flambagem)
Raio de giração =
(Medida da distribuição da área em relação ao eixo em questão)
índice de esbeltez =
(valor relativo a facilidade ou dificuldade de um objeto flambar
ou não)
