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Mapa Mental de Álgebra Lineal - - Coggle Diagram
Mapa Mental de Álgebra Lineal -
```markmap
Mapa Mental Extenso sobre Álgebra Lineal: Matrices
Representada por letra mayúscula (ej. A, B, C).
Usos: sistemas de ecuaciones, transformaciones lineales.
Notación de una Matriz
Matriz de ( m ) filas y ( n ) columnas: ( A_{m \times n} ).
Elemento ( a_{ij} ): fila ( i ), columna ( j ).
Ejemplo:
[ A = \begin{bmatrix} a
{11} & a
{12} & a
{13} \ a
{21} & a
{22} & a
{23} \end{bmatrix} ]
Rango de una Matriz
Número máximo de filas o columnas linealmente independientes.
Métodos de cálculo:
Reducción por Gauss-Jordan.
Determinantes menores no nulos.
Matriz cuadrada de rango completo: determinante distinto de cero.
Operaciones con Matrices
Suma y resta
: Elementos correspondientes.
Multiplicación por un escalar
: Cada elemento por escalar.
Multiplicación de matrices
: Producto de filas por columnas.
Transposición
: Intercambiar filas y columnas.
Inversa
(si existe): ( A^{-1} ) tal que ( A A^{-1} = I ).
Clasificación de Matrices
Según tamaño:
Matriz fila (una sola fila).
Matriz columna (una sola columna).
Matriz cuadrada ( (m = n) ).
Matriz rectangular ( (m \neq n) ).
Según propiedades:
Matriz identidad: ( I_n ), 1s en diagonal principal.
Matriz diagonal: Valores solo en la diagonal.
Matriz simétrica: ( A = A^T ).
Matriz antisimétrica: ( A = -A^T ).
Matriz ortogonal: ( A A^T = I ).
Matriz singular: Determinante cero (no inversible).
Núcleo y Rango de una Matriz
Núcleo (Espacio Nulo):
Soluciones de ( Ax = 0 ).
Se obtiene resolviendo el sistema homogéneo.
Subespacio vectorial.
Rango:
Dimensión del espacio generado por columnas.
Teorema de la dimensión:
( \text{Dimensión del Núcleo} + \text{Rango} = \text{Número de Columnas} ).
Aplicaciones de las Matrices
Resolución de sistemas de ecuaciones.
Representación de transformaciones lineales.
Computación gráfica y visión artificial.
Modelado en economía y estadísticas.
Inteligencia artificial y aprendizaje automático.
```
Definición
Tabla rectangular de números, símbolos o expresiones.