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Matrices - Coggle Diagram
Matrices
Notación y orden
Orden de una Matriz.
El orden de una matriz se determina multiplicando el número de filas por el número de columnas: m × n.
Ejemplo: Una matriz de 4×5 tiene 4 filas y 5 columnas.
Notación de una Matriz.
Se representa generalmente con una letra mayúscula (ej. A) y sus elementos con índices que indican su posición: aᵢⱼ, donde i es la fila y j la columna.
Ejemplo: En la matriz A = [aᵢⱼ], el elemento a₂₃ está en la fila 2, columna 3.
Dimensión de una matriz
La dimensión de una matriz es \bm{m \times n}. Donde m corresponde al número de filas de la matriz, y n al número de columnas.
Definición de matriz
Una matriz es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, organizados en filas y columnas. Se utilizan en álgebra lineal para representar sistemas de ecuaciones, transformaciones lineales y otras operaciones matemáticas.
Operaciones con matrices
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Resta de matrices La resta de matrices A y B solamente existe cuando el orden m x n de éstas es el mismo. Y del mismo orden será la matriz resta R. Se restan los elementos que ocupan la misma posición. Sean dos matrices A y B de la misma dimensión m x n. La matriz resta R, también de dimensión m x n,.
Sean dos matrices de orden 3×2. Su resta será:
Multiplicación de matrices.
La multiplicación de matrices solamente es posible si el número de columnas de la primera matriz coincide con el número filas de la segunda. Sus órdenes deben ser m x n y n x q.
La matriz producto resultante P tendrá un orden o dimensión m x q
La operativa para obtener todos los elementos pi, j de la matriz producto P, consiste en tomar los m elementos de la fila i de la matriz Am x n y los q elementos de la columna j de la matriz Bn x q (las dos líneas tienen n elementos). Se suman los resultados de los n productos y el resultado es el elemento pi, j.
el caso más simple es una matriz fila An x 1 por una matriz columna B1 x n (o viceversa). Como en este ejemplo, una matriz 3×1 multiplicada por otra 1×2:
Multiplicación de matrices 2×2.
Un producto de matrices cuadradas de dimensión 2×2. Por ejemplo:
Multiplicación de matrices 3×3.
Un producto de matrices cuadradas de dimensión 3×3. Vemos un ejemplo:
División de matrices.
La división de matrices propiamente no existe. Para realizar la operación:
Debemos de operar así:
Es una multiplicación de la matriz del numerador por la matriz inversa del denominador.Para que esta operación sea posible, se requiere que:
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Para que se puedan multiplicar dos matrices, estas deben tener el mismo orden o dimensión.
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En general, en la multiplicación de matrices no se cumple la propiedad conmutativa.
Ejemplo de división de dos matrices:
La potencia de una matriz .
La potencia de una matriz solamente es posible en las matrices cuadradas.
La potencia de matrices An consiste en concatenar ene veces multiplicaciones del factor matriz A.
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El núcleo de una matriz.
El núcleo (o kernel) de una matriz es el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. Matemáticamente, para una matriz 𝐴 A de tamaño 𝑚 × 𝑛 m×n, el núcleo está definido como el conjunto de todos los vectores 𝑥 x que satisfacen 𝐴 𝑥 = 0 Ax=0.
Propiedades del núcleo
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Si un vector es solución, cualquier múltiplo escalar de él también lo es.
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Cómo encontrar el núcleo de una matriz.
Se resuelve el sistema homogéneo 𝐴 𝑥 = 0 Ax=0 usando eliminación de Gauss para obtener su forma escalonada. Luego, las columnas de la matriz resultante que generan soluciones independientes forman una base del núcleo. Estas columnas son linealmente independientes porque contienen una submatriz identidad.
rango de una matriz.
El rango de una matriz es el orden de la mayor submatriz cuadrada cuyo determinante es diferente de 0.
Para calcular el rango de una matriz mediante determinantes, se siguen estos pasos:
Calcular determinantes: Para cada submatriz cuadrada, calcula su determinante. Si el determinante es distinto de cero, esa submatriz es linealmente independiente.
Determinar el rango: El rango de la matriz es igual al orden (tamaño) de la mayor submatriz cuadrada cuyo determinante sea diferente de cero.
Identificar submatrices cuadradas: Dentro de la matriz original, selecciona todas las posibles submatrices cuadradas (matrices con igual número de filas y columnas).
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