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Séries de Fourier - Coggle Diagram

- - - - Com esse princípio podemos multiplicar a função que deve ser nossa série infinita por cos(kx), pois assim cancelamos todos os cossenos que são ortogonais a ele, nos sobrando Ak, esse mesmo princípio vale para achar Bk apenas substituindo por sen(kx)
        
        Ak = 1/pi · Integral(f(x)·cos(kx)dx, -pi, pi)
        
        A0 = 1/(2pi) · Integral(f(x)dx, -pi, pi)
        
        A distância de -pi até pi é exatamente 2pi, o que significa que ao Integrar a função f(x) e dividirmos por 2pi estamos tirando a média da função, que corresponde exatamente ao nosso A0
        
        Bk = 1/pi · Integral(f(x)·sen(kx)dx, -pi, pi)
        
        Obs: B não possui um B0, pos sen(0x) = 0
        
        Funções Pares
        
        São funções simétricas entre -x e x, ou seja, f(x) = f(-x), assim a sua série de Fourier não possuirá senos, visto que seno é uma função ímpar e a sua integral de -pi até pi seria 0
        
        Aplicação
        
        Podemos utilizar para calcular a condução de calor em uma barra metálica de comprimento 2𝐿, centrada na origem, ocupando [−𝐿,𝐿]. As extremidades estão em temperaturas iguais (por exemplo, 0°C). Supondo que a distribuição inicial de temperatura seja simétrica em relação a x=0.
        
        A temperatura em −x é igual à temperatura em +x. Em termos matemáticos, T(−x)=T(x). Essa simetria faz com que a série de Fourier envolva apenas cossenos (funções pares).
        
        Em processos industriais de aquecimento ou resfriamento, muitas vezes se trabalha com barras ou placas com condições de contorno idênticas em ambas as extremidades, facilitando a análise da distribuição de calor.
        Modelos desse tipo são utilizados em engenharia mecânica e metalúrgica para prever gradientes de temperatura e evitar falhas estruturais.
        
        Fontes
        
        Holman, J.P. Heat Transfer, McGraw-Hill, 10ª ed., 2010.
        
        Carslaw, H.S., Jaeger, J.C. Conduction of Heat in Solids, 2ª ed., Oxford University Press, 1959.
        
        Funções Ímpares
        
        São funções assimétricas entre -x e x, ou seja, f(x) = -f(-x), assim a sua série de Fourier não possuirá cossenos, visto que cosseno é uma função par e a sua integral de -pi até pi seria 0
        
        Aplicação
        
        Considere uma corda esticada, de x=L. Para facilitar a análise via séries de Fourier, muitas vezes “espelhamos” o domínio para [−L,L], impondo que o deslocamento seja anti-simétrico: y(−x,0)=−y(x,0).
        
        Fisicamente, isso pode representar uma perturbação inicial onde a metade esquerda e a metade direita da corda se deslocam em sentidos opostos.
        
        A condição y(−x)=−y(x) define uma função ímpar.
        Nesse caso, a série de Fourier envolve apenas senos (sen(nx)).
        
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        Fontes
        
        Timoshenko, S., Young, D.H., Weaver, W. Vibration Problems in Engineering, John Wiley & Sons, 5ª ed., 1990.
        
        Fitzpatrick, R. “Vibrating String,” University of Texas Lecture Notes, disponível online.