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7) Resolva a equação do calor ut = c uxx em uma barra infinita começando…
7) Resolva a equação do calor ut = c uxx em uma barra infinita começando em u0(x) = δ(x).
Resolução
Sabemos qual é a equação do calor nos dada e qual é a sua condição inicial
Equação do Calor
Condição inicial
Descreve a difusão de calor ao longo de uma barra infinita
A fim de termos uma resolução mais sistemática, faremos a separação de variáveis por meio uma derivada dupla de U em relação a x.
Assumindo que a solução é da forma de
Temos uma equação característica
Que fornece soluções da seguinte forma
Podemos usar a Série de Fourier a fim de representar a condição inicial como uma soma de funções senoidais e dessa forma, encontrar os coeficientes da solução geral do calor
Cn são determinadas a partir da condição inicial
Como encontrar os coeficientes de Fourier no intervalo (-L,L)
A propriedade da função delta de Dirac δ(x) é:
Ao aplicar essa propriedade na integral de Cn temos que a Série de Fourier não consegue representar a função δ(x) diretamente em um intervalo infinito, fazendo -se a necessidade de aplicar a Transformada de Fourier
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Ao aplicar a Transformada de Fourier para resolver a equação temos a seguinte integral
A equação do calor
Aplicando a transformada à equação do calor
A EDO para Û(k,t) tem como solução geral
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Aplicações
Transferência de calor em materiais
Resfriamento de peças metálicas na Indústria
Após processos como soldagem, as peças metálicas precisam resfriar para atingir a resistência desejada, e a equação de calor permite prever como a temperatura se distribui no tempo, o que ajuda a evitar tensões térmicas que prejudicariam a qualidade das peças
Dissipação de calor em componentes eletrônicos
Devido ao fluxo de corrente elétrica, circuitos eletricos aquecem, o que faz necessário uma solução para a dissipação do calor para evitar falhas nos circuitos.
A equação de calor auxilia no desenvolvimento dos dissipadores térmicos e no sistema de ventilação
Processos de Difusão em Química e Biologia
A forma de calcular difusão pelo qual moléculas e partículas estão sujeitas quando se movem de regiões de maior concetração para menor concentração é análoga a equação de calor
Difusão de gases e líquidos
Um exemplo é em um ambiente fechado com um frasco de perfume aberto, suas moléculas se espalham pelo ar devidoa à difusão
Regulação térmica de um organismo
A difusão está envolvida no controle da temperatura corporal e na manutenção do equilíbrio osmótico das células.
Equação do Calor de Fourier
Contexto Histórico
Mecânica dominada pelo paradigma newtoniano e o formalismo matemático de Euler, Lagrange e Laplace.
Interesse crescente em fenômenos térmicos devido ao desenvolvimento de máquinas térmicas e termômetros.
Duas teorias concorrentes sobre a natureza do calor
Teoria mecânica → calor como movimento de partículas.
Teoria do calórico → calor como um fluido.
Projeto Laplaciano
Propunha uma nova física universal baseada em movimentos moleculares e forças semelhantes à gravitação de Newton.
Aplicação às áreas de óptica, fenômenos térmicos e elétricos.
Fourier e a Condução do Calor
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830) iniciou estudos sobre condução térmica.
Em 1807, apresentou a lei de propagação do calor no trabalho Mémoire sur la propagation de la chaleur.
Rompeu com o projeto laplaciano ao ignorar a natureza do calor.
Usou cálculo diferencial para descrever a propagação térmica.
Publicação revisada e ampliada em 1822 → Théorie analytique de la chaleur.
Método Matemático e Física Matemática
Fourier formulou a equação da condução do calor com equações diferenciais parciais.
Desenvolveu a solução por séries trigonométricas (séries de Fourier).
Modelo físico focado na propagação do calor, sem discutir sua natureza.
