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SISTEMA DE ECUACIONES - Coggle Diagram
SISTEMA DE ECUACIONES
Representación Matricial de Sistemas de Ecuaciones
Para sistemas lineales y al graficar las ecuaciones son rectas en el plano cartesiano, que se interceptan en algún punto. Este punto de intersección es la solución del sistema de ecuaciones
La representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales es una forma compacta y eficiente de expresar y resolver un conjunto de ecuaciones lineales utilizando matrices.
Es especialmente útil para resolver sistemas de ecuaciones grandes y complejos, y se puede aplicar tanto en problemas matemáticos como en ingeniería, economía y física, entre otros campos.
EJEMPLO
:
Representar de manera matricial el siguiente sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
Métodos de eliminación completa de Gauss – Jordan
Convierte la matriz del sistema en una matriz identidad para obtener directamente la solución del sistema.
1. Formación de la matriz aumentada
: Se escribe el sistema de ecuaciones como una matriz aumentada [𝐴|𝑏] que incluye tanto los coeficientes del sistema como los términos independientes.
2. Pivoteo:
Seleccionar el pivote (un número en la diagonal de la matriz) y utilizamos operaciones elementales de fila para hacer ceros en todas las posiciones por encima y por debajo de ese pivote.
3. Normalización:
Hacemos que el pivote sea igual a 1 dividiendo la fila correspondiente por el valor del pivote.
• Intercambiar dos filas: 𝑅𝑖 ↔ 𝑅𝑗
• Multiplicar una fila por un escalar no cero: 𝑘𝑅𝑖(donde 𝑘 ≠ 0)
• Sumar o restar un múltiplo de una fila a otra: 𝑅𝑖 + 𝑘𝑅𝑗
4. Reducción completa:
Repetimos los pasos anteriores para las demás filas y columnas, hasta que todos los elementos fuera de la diagonal principal sean ceros y los elementos de la diagonal principal sean 1. Al final, la matriz de coeficientes será la identidad, y el vector de soluciones estará en el lado derecho.
Métodos de Jacobi
Parte de una suposición inicial para las incógnitas del sistema de ecuaciones y refina esas suposiciones en cada iteración. La clave es que en cada iteración, los valores nuevos de las incógnitas se calculan utilizando exclusivamente los valores de la iteración anterior.
EJEMPLO
:
Dado el siguiente sistema de 4 ecuaciones, calcular los valores de las incógnitas utilizando el método de Jacobi. Para una tolerancia de 10−5.
Despejar cada incógnita en función de las otras variables.
Establecer valores iniciales para 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4. Como no tenemos ese dato se inicia todos en:
Iterar usando las ecuaciones del paso 1.
1ra iteración:
2da Iteracción:
Este proceso debe continuar hasta que los valores de𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 converjan, cuando las diferencias entre las iteraciones consecutivas sean menores que una tolerancia establecida.
Para 16va iteración la tolerancia es menor que 10−5, con los valores aproximados de:
Métodos de Gauss – Seidel
En lugar de usar solo los valores de la iteración anterior para todas las incógnitas, este método utiliza los valores más recientes disponibles en cada iteración.
EJEMPLO
Despejar cada incógnita en función de las otras variables.
Establecer valores iniciales para 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4. Como no tenemos ese dato se inicia todos en:
1ra iteración:
Resultado de la 1ra Iteración:
2da Iteración:
Se utilizará los valores optenidos en la 1ra iteración.
Teniendo como resultado:
Se continua con el proceso de iteración, hasta obtener una diferencia igual o menor a la tolerancia asignada.
Aplicaciones computaciones para resolución de problemas
Utilizando una aplicación por computadora mediante simulaciones o iteraciones. Hallar los valores de las incógnitas utilizando el método de Gauss – Seidel.
Solución
:
Se presenta el código Python que puedes utilizar para resolver el problema utilizando por el método solicitado, este es un ejemplo sugerido el lector puede generar su propio código optimizado.
https://www.mycompiler.io/es/new/python
,
La tabla de resultados de las iteraciones:
