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ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES - Coggle Diagram
ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES
Introducción a las herramientas computacionales
Se los catalogar como software o entornos diseñados para facilitar la solución de problemas matemáticos, científicos y de ingeniería mediante el uso de computadoras. Se caracterizan por:
• Ejecutar operaciones matemáticas avanzadas.
• Resolver ecuaciones diferenciales.
• Realizar análisis estadísticos.
• Manipular grandes volúmenes de datos.
Lenguajes de programación
Diseñados específicamente para ser fáciles de usar, incluso para aquellos que no tienen experiencia en programación avanzada.
Python
Permite que la implementación de métodos numéricos sea más accesible y eficiente, permitiendo resolver problemas complejos de forma efectiva y elegante. Python es ideal para realizar cálculos numéricos y visualizaciones
MATLAB.
Algunas ventajas: Interfaz amigable, potentes herramientas de cálculo y visualización, especialmente útil para álgebra lineal y ecuaciones diferenciales.
Octave
Octave es especialmente útil para análisis numérico, álgebra lineal y cálculos matriciales. Sintaxis muy similar a MATLAB, completamente gratuito, disponible en línea.
Aplicaciones computaciones para resolución de problemas
Utilizando una aplicación por computadora mediante simulaciones o iteraciones, calcular la solución de la ecuación:
𝑓(𝑥) = 4𝑒−𝑥 ⋅ sin (𝑥) − 1
Usar el método de bisección, con el intervalo [0,0.5] y una tolerancia de 0.0005.
SOLUCIÓN
Para visualizar y compilar el código haga clic
https://www.mycompiler.io/es/new/python
, transcribir el código de programación y luego ejecutar:
Características de los métodos mediante aproximación sucesiva
Generalmente se empieza con una suposición inicial y, a través de un proceso iterativo, se van refinando las soluciones hasta que se cumple un criterio de convergencia o se alcanza un error tolerable.
Los
métodos
mas comunes son:
•
Método de Bisección
. Divide un intervalo en mitades sucesivas hasta encontrar la raíz de una función, en cada división el intervalo de búsqueda se va reduciendo iterativamente.
•
Método de Punto Fijo.
Requiere de una ecuación 𝑓(𝑥) = 0 como 𝑥 = 𝑔(𝑥) y luego iterar ePuede converger si la derivada de 𝑔(𝑥) <1 en el intervalo donde se encuentra la raíz.
•
Método de Newton-Raphson.
Mediante el concepto de derivada para encontrar raíces de una función. En cada iteración se aproxima la función a través de una línea tangente en el punto actual y se encuentra una nueva estimación de la raíz.
•
Método de Gauss-Seidel.
Se usa para resolver sistemas de ecuaciones lineales, requiere una estimación inicial y cada variable se resuelve en términos de las demás usando la última estimación disponible de las otras variables.
Método de Bisección
Es aplicable a funciones algebraicas o trascendentes, es un algoritmo numérico para encontrar raíces reales de una función continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏].
Representación gráfica del método de bisección
EJEMPLO
Calcular las raíces reales de la ecuación:
𝑓(𝑥) = 4𝑒−𝑥 ⋅ sin (𝑥) − 1
Con el intervalo [0,0.5] y una tolerancia de 0.0005.
Evaluar la función a resolver con los valores del intervalo:
Como el producto de 𝑓(0) ⋅ 𝑓(0.5) < 0, confirma que el intervalo [0,0.5] efectivamente existe una solución de la ecuación.
1ra iteración:
𝑎 = 0 , 𝑏 = 0.5 ; Punto medio 0,25
𝑓(0.25) = 4𝑒−0.25 ⋅ sin (0.25) − 1
𝑓(0.25) = 4 ⋅ 0.7788 ⋅ 0.2474 − 1 ≈ 0.7707 − 1 𝑓(0.25) = −0.2293
2da iteración:
𝑎 = 0.25 , 𝑏 = 05; el punto medio:0,375
𝑓(0.375) = 4𝑒−0.375 ⋅ si n(0.375) − 1
𝑓(0.375) = 0.0069
Si 𝑓(𝑎)𝑓(𝑐) < 0, la raíz está en el subintervalo [a, c], entonces se toma b=c.
La tolerancia ∣ 0.5 − 0.25 ∣/2 < 0.0005 →∣ 0.1250 ∣< 0.0005 no cumple.
3ra iteración:
𝑎 = 0.25 ; 𝑏 = 0.375 ; El punto medio: o,3125
𝑓(0.3125) = 4𝑒−0.3125 ⋅ 𝑠𝑖 𝑛(0.3125) − 1
𝑓(0.3125) = −0.1003
Se cumple que 𝑓(𝑐)𝑓(𝑏) < 0, la raíz está en el subintervalo [c, b], entonces se toma a=c. La tolerancia ∣ 0.375 − 0.25 ∣∗ 0.5 < 0.0005 →∣ 0.0625 ∣< 0.0005 no cumple.
4ta iteración:
𝑎 = 0.3125 , 𝑏 = 0.375; punto medio 0,3438
𝑓(0.3438) = −0.0440
Se cumple que 𝑓(𝑐)𝑓(𝑏) < 0, la raíz está en el subintervalo [c, b], entonces se toma a=c. La tolerancia ∣ 0.375 − 0.3125 ∣∗ 0.5 < 0.0005 →∣ 0.0313 ∣< 0.0005 no cumple.
5ta iteración:
𝑎 = 0.3438 , 𝑏 = 0.375, punto medio 0,3594
𝑓(0.375) = −0.0179
Se cumple que 𝑓(𝑐)𝑓(𝑏) < 0, la raíz está en el subintervalo [c, b], entonces se toma a=c. La tolerancia ∣ 0.5 − 0.25 ∣∗ 0.5 < 0.0005 →∣ 0.0156 ∣< 0.0005 no cumple.
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Método de Newton-Raphson
Es especialmente útil cuando se tiene una buena aproximación inicial cerca de la raíz. Este método utiliza la derivada de la función para hacer una aproximación sucesiva a la raíz. La fórmula de actualización de Newton-Raphson es:
EJEMPLO
Dada la función: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 − 5
Su derivada: 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 2
𝑓(0) = 03 − 2 ∗ 0 − 5 = −5
Se observa que existe un cambio de signos en los resultados entre el intervalo [2, 3], por lo que la solución se encuentra en ese intervalo. Se elige 𝑥 = 2.
1ra iteración.
Se tiene: 𝑥0 = 2
Reemplazando este valor en la función y en su derivada respectivamente.
𝑓(2) = 23 − 2(2) − 5 = −1
𝑓′(2) = 3(22) − 2 = 10
Para el error permitido |𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛| ≤ 0.00005 → |2.1 − 2.0| ≤ 0.00005 no cumple se continua con la iteración.
2da iteración.
Se tiene: 𝑥1 = 2.1
Reemplazando este valor en la función y en su derivada respectivamente.
𝑓′(2) = 3(2.12) − 2 = 11.23
Para el error permitido |𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛| ≤ 0.00005 → |2.0946 − 2.1| ≤ 0.00005 no cumple se continua con la iteración.
3ra iteración.
Se tiene: 𝑥2 = 2.0946
Reemplazando este valor en la función y en su derivada respectivamente.
𝑓′(2.0946) = 3(2.09462) − 2 = 11.20
Para el error permitido |𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛| ≤ 0.00005 → |2.0946 − 2.0946| ≤ 0.00005 no cumple se continua con la iteración, siendo el valor de la raíz solución 𝑥 = 2.0946
Continuando con las iteraciones el valor de 𝑥 converge a aproximadamente para 2.079.
Orden de un método de interacción
Describe la velocidad de convergencia de la solución hacia el valor exacto, se define como la relación entre el error en la solución actual y el error en la iteración siguiente.
Si 𝑥𝑛+1 es la aproximación después de la n-ésima iteración, donde 𝑥 es la solución exacta, el orden de convergencia 𝑝 dado por:
Por ejemplo, el método de bisección tiene un orden de convergencia lineal (𝑝=1), mientras el método de Newton-Raphson tiene convergencia cuadrática (𝑝=2), lo que significa que el error disminuye más rápidamente.
