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DATA FITTING - Coggle Diagram
DATA FITTING
APPROSSIMAZIONE MINIM QUADRATI
LS
minimizzare
$$||p(x_i)-p_i||_2$$
SISTEMA A EQUAZIONI NORMALI
$$A^T A x = A^T b $$
imponendo gradiente = 0
se m diverso da n
QR or SVD
WLS
$$A^T W^2 A x= A^T W^2 b$$
aggiunta matrice diagonale pesi
ruolo pesi
più aumenta più si avvicina ad un determinato dato
Connessione con interpolazione
media ponderata interpolanti d f su insiemi di n+1 puntu tra x1 e xm
RLS
migliorare accuratezza
TLS
Trimmed
calcolo LS prima volta
scarto i k dati con residuo più largo
IRWLS
Iterative Re-Weighted
associo peso a dati
calcolo iterativo dei pesi
ci stoppiamo quando si arriva ad un lim sup dell'errore
PARAMETRIZZAZIONE
Caso polinomiale
trovare $$ p_n(x) \in \Pi^n $$
tale che $$p_n(x_i) = f_i$$
Caso Parametrico
$$ \underline{x} =\sum_{i=0}^n \underline{b_i} B_i^n (t) $$
SCELTA PARAMETRIZZAZIONE
non si può scegliere un metodo di parametrizzazione a priori
Standard techniques
Uniform (UNI)
$$t_i = \frac {i}{n} $$
Centripetal (CEN)
$$ \alpha = \frac {1}{2} $$
$$\Delta p_i = || p_{i+1} - p_i ||^{1/2} $$
Chordlenght (CHL):
$$t_{i+1} = t_{i} +\frac {\Delta p_i}{||\Delta p||} $$
tiene conto della distanza fra i punti
$$ \Delta p_i = || p_{i+1}-p_i || $$
Learning based approach
Neural Comput Appl
3DV
Computet Aided Geom D
Base di Bernstein
$$p_n(x_i)= \sum_{i=0}^n b_i B_i^n (t) $$
Base delle potenze
$$p_n (x_i)=\sum_{i=0}^n a_i x^i$$
Interpolazione vs Approssimazione
Interpolazione
attraversa tutti i punti
Approssimazione
quasi interpolazione
PARAMETRIC CURVE FITTING
come parametrizziamo
Disaccoppiare Problema pdc e parametrizzazione
Alternating method
inizializzazione
parameters update
control points update
PARAMETER UPDATE
cerco punti curva più vicini ad ogni punto target
Iterative approach:
Newton like methods
Global method
Levenberg Marquadt
L BFGS